Resolución de la ecuación cuadrática

Question

$$\frac{1}{x^2} - 1 = \frac{1}{x} -1$$

Reacomodándolo obtengo: $1-x^2=x-x^2$ y así $x=1$ . Pero la pregunta que estoy haciendo dice que hay que encontrar 2 soluciones. ¿Cómo puedo encontrar la segunda solución?

Gracias.

Answer 1

La única otra solución que se me ocurre es el infinito (trabajando en el Línea de números reales extendida (proyectiva) )

Answer 2

Creo que hay que subrayar cuál es el punto más destacado aquí:

Dada la ecuación $$ \Phi =\Psi $$ puede multiplicar ambos lados por el mismo distinto de cero número $a$ para obtener la ecuación equivalente $$ a\Phi =a\Psi. $$ Multiplicar ambos lados de una ecuación por 0 puede dar una ecuación que no es equivalente a la ecuación original.

Con tu ecuación, eventualmente llegarás al punto de tener $$ \tag{1}{1\over x^2}= {1\over x}. $$ En este punto, si quiere "cancelar el $x$ ', podrías multiplicar ambos lados por $x^2$ siempre y cuando $x^2\ne0$ . Hay que tener en cuenta lo que ocurre cuando $x=0$ por separado.

$x=0$ no es una solución de (1) en este caso, por lo que las soluciones de (1) son las soluciones no nulas de $$ 1=x. $$ Si se multiplican ambos lados de (1) por $x^3$ las soluciones serían las soluciones no nulas de $$ x=x^2. $$

Su texto cometió un error, muy probablemente, en esta etapa...

Answer 3

Sólo hay una respuesta que es $x=1$ como usted ha dicho. Sin embargo, es posible que el libro haya procedido erróneamente con los siguientes pasos, haciéndoles creer que había 2 respuestas.

$${1\over x^2}-1={1\over x}-1$$ $${1\over x^2}={1\over x}$$ $$x^2=x$$ $$x^2-x=0$$ $$x(x-1)=0$$ $$x=1, x=0$$ Sin embargo, al conectar $0$ en la ecuación original obtenemos ${1\over 0}-1={1\over 0}-1$ . Por tanto, podemos descartar el 0, lo que nos deja sólo el 1.

Answer 4

$$\frac{1}{x^2} - 1 = \frac{1}{x} -1$$

$$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} $$

$$x^2-x=0$$

$$x(x-1)=0$$

Las soluciones son $x=1$ o $x=0$ .

Answer 5

Otra forma de verlo es

$$\frac{1}{x^2} - 1 = \frac{1}{x} -1 \iff \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} \iff x^2 = x \longrightarrow x = 1$$

Cuando el caso $x=0$ se ha excluido manualmente. Su solución es correcta.