Una propiedad intrínseca es aquella que puede ser definida sólo en términos de la primera forma fundamental.
Tomando nuestro elemento de superficie a ser $$f:U \to {\mathbb{R}^3}$$
Podemos parametrizar f en términos de sólo dos arbitrario de coordenadas (aunque el elemento de superficie es incrustado en el 3-espacio que no necesita 3 coordenadas para describirlo)
$$f(u,v) = \left( {x(u,v),y(u,v),z(u,v)} \right)$$
Podemos de utilizar esta configuración de parámetros para definir la primera forma fundamental
$${g_{ij}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
E&F \\
F&G
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\langle {\frac{{\partial f}}{{\partial u}},\frac{{\partial f}}{{\partial u}}} \right\rangle }&{\left\langle {\frac{{\partial f}}{{\partial u}},\frac{{\partial f}}{{\partial v}}} \right\rangle } \\
{\left\langle {\frac{{\partial f}}{{\partial v}},\frac{{\partial f}}{{\partial u}}} \right\rangle }&{\left\langle {\frac{{\partial f}}{{\partial v}},\frac{{\partial f}}{{\partial v}}} \right\rangle }
\end{array}} \right)$$
La longitud del arco es de los definidos por sólo la primera forma fundamental y por lo tanto es una propiedad intrínseca
$$d{s^2} = Ed{u^2} + 2Fdudv + Gd{v^2}$$
$$L = \int\limits_a^b {ds} = \int\limits_a^b {\sqrt {Ed{u^2} + 2Fdudv + Gd{v^2}} } $$
Ejemplo Conceptual:
Si quieres pensar acerca de las condiciones de algunos de hormigas que sólo existe en 2-espacio: Esta hormiga podría viajar la distancia de arco en un elemento de superficie y medir esta distancia sin ningún conocimiento del espacio ambiente, sólo el conocimiento de un 2-sistema de coordenadas se define en el elemento de superficie.
Ejemplo Matemático:
De la unidad 2-esfera puede ser parametrizado en términos de sólo 2 coordenadas de los ángulos phi y theta.
$$f(\varphi ,\theta ) = \left( {\cos \varphi \cos \theta ,\sin \varphi \cos \theta ,\sin \theta } \right)$$
Podemos de definir la primera forma fundamental como
$${g_{ij}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\cos }^2}\theta }&0 \\
0&1
\end{array}} \right)$$
Y por lo tanto la arclength como
$$L = \int\limits_a^b {ds} = \int\limits_a^b {\sqrt {{{\cos }^2}\theta d{\varphi ^2} + d{\theta ^2}} } $$
Definición de la longitud del arco independiente de cualquier espacio ambiental:
Para definir la longitud de algunos de arco en un host de hyper-superficie elemento independiente de la temperatura del espacio en la que el elemento está incrustado puede utilizar la Geometría de Riemann.
Tomar el tensor métrico: $${g_{ij}} = {e_i} \bullet {e_j}$$
Y el Elemento Line/Métrica de Riemann:
$$d{s^2} = {g_{ij}}d{x^i} \otimes d{x^j} = g$$
Podemos de definir la Longitud de Arco de una manera que es el mismo para todos los espacios en los que el hyper-elemento de superficie podrían ser incrustado:
$$L = \int\limits_a^b {\sqrt {g} } $$
