¿Qué información puede recuperarse de la métrica inducida de una variedad riemanniana?

Question

Nota: En lo que sigue, "métrica" significa "métrica espacial métrica", pas "Métrica riemanniana".

Imagina que estás jugando a un juego con un amigo. Eliges una variedad riemanniana $M$ por tanto, un conjunto de puntos $M$ con una topología asociada, una métrica un haz tangente asociado y una métrica riemanniana asociada sobre dicho haz tangente.

A continuación se "borra" toda la información que no sea el métrica (y la topología, ya que ésta es inducida automáticamente por el métrica ), y dar $M$ a tu amigo para que lo analice.

Pregunta: En teoría, ¿cuánta de la información sobre la variedad riemanniana original $M$ ¿podría su amigo recuperarse del espacio métrico $M$ ?

Obviamente, tu amigo podría utilizar la topología para identificar que el espacio es un colector.

Sin embargo, ¿podría tu amigo utilizar la métrica para reconocer que la variedad es diferenciable y reconstruir así el haz tangente? ¿Y podría tu amigo utilizar también la métrica para reconstruir la métrica riemanniana original que tenías sobre el haz tangente?

Nota: Imagino que las respuestas a estas preguntas son resultados estándar de la geometría de Riemann o, al menos, de la geometría métrica, con pruebas largas y técnicas que se encuentran en todos los libros de texto. Pero no estoy lo suficientemente familiarizado con ninguno de los dos temas como para estar seguro de ello o para saber dónde encontrar una referencia que responda a estas preguntas.

Sé que en el caso de $\mathbb{R}^n$ Dada una métrica inducida por un producto interior, se puede reconstruir el producto interior a partir de la métrica. Así que tengo curiosidad por saber hasta qué punto puede extenderse un razonamiento análogo a las variedades riemannianas arbitrarias.

Answer 1

La respuesta a todas las preguntas anteriores es afirmativa, según un artículo de 1957 de Richard S. Palais ( enlace ). La construcción clave en el argumento utilizado es la siguiente:

Dado el espacio métrico $M$ para cada punto $x \in M$ defina el conjunto $M_x$ (denominado conjunto de geodésicas en $x$ parametrizado proporcionalmente a la longitud del arco ) tal que $\sigma \in M_x$ si y sólo si:

1. $\sigma$ es un mapa de un intervalo $(-a, b)$ en $M$ donde $a$ y $b$ son números reales positivos de $\infty$ .
2. $\sigma(0) = x$
3. Hay un número real $r$ tal que, dado cualquier $t \in (a,b)$ : $$d(\sigma(t), \sigma(t + t')) = r t' $$ para todo lo suficientemente pequeño $t'$ .
4. $\sigma$ no es una restricción propia de un mapeo que satisfaga las propiedades anteriores.

(Nota: creo/imagino que la condición 4. puede sustituirse considerando en su lugar el conjunto de gérmenes de funciones que satisfacen las condiciones 1-3. Se pide/requiere una demostración rigurosa).

A continuación, Palais demuestra que cada $M_x$ tiene que ser un $n$ -Una vez demostrado que coincide con el haz tangente de la variedad riemanniana original, se deduce que el producto interior "varía con suficiente suavidad" entre los puntos.

Obsérvese que la condición 3. implica que todos los mapas $\sigma \in M_x$ son similitudes locales $\mathbb{R} \to M$ dado un $t_0$ suficientemente pequeño, tal que $|t'| \le t_0$ implica que 3. se cumple, entonces $\sigma(B_0(t_0)) \subseteq B_x(rt_0)$