¿Cómo puedo demostrar que si $\gcd(a,b)=1$ entonces $\gcd(a^2,b^2)=1$ ¿Sin utilizar la descomposición primaria? Sólo debo utilizar la definición de gcd, el algoritmo de división, el algoritmo euclidiano y los corolarios de los mismos. ¡Gracias por su ayuda!
La regla de oro para todo El problema de los máximos comunes divisores, afirmo (especialmente si se trata de evitar específicamente el uso de la descomposición de primos), es el hecho de que $\gcd(a,b)$ es igual al menor número entero positivo $g$ que puede escribirse de la forma $g=ax+by$ con $x,y$ enteros.
En particular, $\gcd(a,b)=1$ si y sólo si existen enteros $x$ y $y$ tal que $ax+by=1$ . (¡Esto no es cierto si se sustituye el 1 por un número entero mayor! Es cierto porque el 1 es el número entero positivo más pequeño que existe).
Esa es mi sugerencia general; mi sugerencia específica es cubo ambos lados de la ecuación $ax+by=1$ .
+1 Por cierto, todavía no he visto una demostración que utilice la factorización única de primos que no se vuelva mucho más elegante cuando se utiliza este hecho en su lugar.
Esto es realmente útil, ¡gracias! No se me había ocurrido elevar la ecuación al cubo; ahora puedo factorizar $a^2$ o $b^2$ de cada término y obtener la combinación lineal que necesitaba.
Es engañoso llamar a esto una "regla de oro de gcd" ya que falla miserablemente en muchos UFDs comunes no-Bezout, por ejemplo $\,\Bbb Z[x],\ \Bbb Q[x,y].\,$ Pero el resultado es válido en este caso y se puede demostrar de forma muy sencilla y más general sin utilizar factorizaciones primarias, sino utilizando las leyes básicas de gcd - véase mi respuesta.
En realidad, esto se puede hacer en una estructura estrictamente multiplicativa, en la que podríamos no tener (ni preocuparnos por) la adición. En particular, dejemos que $M$ sea un cancelador conmutativo monoide bajo la operación $\cdot$ . En otras palabras, para todos los $x,y,z\in M$ , $x\cdot y = y\cdot x$ y si $x \cdot y=x \cdot z$ entonces $y=z$ . Como es habitual, a partir de ahora escribiremos $xy$ en lugar de $x \cdot y$ .
Así, para $x,y\in M$ decimos que $d\in M$ es el máximo común divisor de $x$ y $y$ si:
Es fácil demostrar que los máximos comunes divisores son únicos hasta los múltiplos unitarios (es decir, si $d_1$ y $d_2$ son máximos comunes divisores de $x$ y $y$ entonces existe un elemento invertible $u\in M$ tal que $x=uy$ Teniendo en cuenta esta advertencia, utilizaremos la notación $d=\gcd(x,y)$ para significar que $d$ es el máximo común divisor de $x$ y $y$ . Por supuesto, decir $\gcd(x,y)=1$ significa realmente que los únicos divisores comunes de $x$ y $y$ son unidades de $M$ .
Decimos que $M$ es un GCD-monoide si cada par de elementos en $M$ tienen un máximo común divisor.
Así, con esta definición (que se reduce a la definición de Greg Martin anterior en el caso de que consideremos $M=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ bajo la multiplicación), primero demostramos la siguiente proposición.
Propuesta: Dejemos que $M$ sea un monoide GCD y $a,b\in M$ con $\gcd(a,b)=1$ . Entonces, para cualquier $c\in M$ con $a\mid bc$ tenemos $a \mid c$ .
Esbozo de prueba: Tenemos $a\alpha =bc$ para algunos $\alpha\in M$ . Desde $M$ es un monóide GCD, sea $d:=\gcd(b,\alpha)$ . Entonces,
$ad=\gcd(ab,a\alpha)=\gcd(ab,bc)=\gcd(a,c)b$ . Sin embargo, como $d \beta =b$ para algunos $\beta\in M$ tenemos $\beta \mid a$ y $\beta \mid b$ Por lo tanto $\beta$ es invertible en $M$ , $a=\gcd(a,c)$ y $a \mid c$ . $\blacksquare$
(Nótese que técnicamente he utilizado el resultado que $x \cdot \gcd(y,z)=\gcd(xy,xz)$ pero eso también se puede demostrar utilizando la definición de gcd anterior).
Por lo tanto, suponga $\gcd(a,b)=1$ y supongamos que tenemos un divisor común $x$ de $a^2$ y $b^2$ . Así que, $x\alpha=a^2$ y $x\beta=b^2$ para algunos $\alpha,\beta\in M$ . Entonces,
$x\alpha \beta = \beta a^2 = \alpha b^2$
de donde $a \mid \alpha b^2$ . Por la proposición anterior, $a \mid \alpha$ y se deduce que $x \mid a$ . Por un argumento simétrico, $x \mid b$ . Por lo tanto, $x$ es un elemento invertible en $M$ y $\gcd(a^2,b^2)=1$ .
De hecho, se puede utilizar el mismo argumento (con un poco más de cuidado) para demostrar que $\gcd(a^m,b^n)=1$ para todos $m,n\in \mathbb{N}$ .
* En los números enteros, la convención habitual es evitar esto restringiendo que los máximos comunes divisores sean positivos. Sin embargo, hay muchas estructuras algebraicas en las que hay más de dos elementos invertibles. En la práctica, las distinciones entre los múltiplos unitarios de un elemento suelen ignorarse.
Sugerencia $\rm\,\ (a,b) (a^2,b^2) = (a,b)^3,\, $ cierto ya que ambas partes $\rm\: =\: (a^3,\:a^2b,\:ab^2,\:b^3)\, $ empleando las leyes básicas de gcd (distributiva, conmutativa, asociativa). Cancelación de $\,\rm (a,b)\ne 0\,$ de ambos lados de lo anterior da como resultado que: $\rm\ (a^2,b^2) = (a,b)^2.\,$ El suyo es un caso especial $\,\rm (a,b)= 1.\,$ Ver esta respuesta más información sobre la aritmética gcd y su analogía con la aritmética de números enteros.
Alternativamente $\rm\, (a^2,b^2) = (a,b)^2,\,$ el gcd El sueño de un novato, es demostrable mediante la cancelación de $\rm\,(a,b)^2\,$ para reducir a caso $\rm\,\,(a,b)=1\,$ (OP). $ $ Entonces, el lema de Euclides, es decir $\rm\,(x,y)=1=(x,z)\,\Rightarrow\,(x,yz)=1,\,$ rinde $\rm\,(a,b)=1\,\Rightarrow\,(a,b^2)=1\,\Rightarrow\,(a^2,b^2)=1.\,$ O bien, probarlo localmente, es decir, un primo a la vez: $ $ prime $\rm\,p\mid a^2,b^2\,\Rightarrow\,p\mid a,b,\,$ contra $\rm\,(a,b)=1.$
Alternativamente El lema de Gauss (GL) ofrece una demostración rápida. Sea $\rm\:{\cal C}(f)\:$ denotan el contenido de un polinomio, es decir, el gcd de sus coeficientes. GL $\rm\: \Rightarrow\ {\cal C}(f\:g)\ =\ {\cal C}(f)\ {\cal C}(g)\ $ así que
$$\rm (a,b)^2\! =\ {\cal C}\:(ax\! +\! b)\ {\cal C}\:(a x\! -\! b)\, =\, {\cal C}\:((a x\! +\! b)(ax\! -\! b))\, =\, {\cal C}\:(a^2 x^2\! -\! b^2)\, =\, (a^2,b^2)\qquad$$
De forma más general aquí el El sueño de un novato $\rm\:(a,b)^n = (a^n,b^n),\,$ tiene una prueba unificada para la aritmética de GCDs e ideales invertibles usando leyes aritméticas simples.
Supongamos, en aras de la contradicción, que $\gcd(a^{2},b^{2}) \neq 1$ .
Entonces existe un número entero $c > 0$ tal que $c \mid a^{2}$ y $c \mid b^{2}$ .
Ahora, dejemos que $p$ sea cualquier factor primo de $c$ .
Por lo tanto, $p \mid a^{2}$ y $p \mid b^{2}$ .
Por lo tanto, $p \mid a$ y $p \mid b$ contratando la suposición de que $\gcd(a, b) = 1.$
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¿Son estos los deberes? Una pista: por el algoritmo de Euclides, $\gcd(a,b) = 1$ si y sólo si existen enteros $x$ y $y$ con $ax+by=1$ . Entonces $(ax+by)^2 = a^2(x^2) + b(2axy + by^2) = 1$ . ¿Qué puede concluir?
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@user7530, esto sólo muestra que $gcd(a^2,b)=1$ . Pero la sugerencia de Greg para cubicarla me ha funcionado.
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@Dan Brumleve: la sugerencia de user7530 aplicada dos veces (primero para a, luego para b) también funciona.
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@user7530 +1 - Tu comentario es la mejor respuesta.