Evaluar el límite de una función

Question

Me acaba de resolver el siguiente límite, para que la respuesta es $0$ a mí, pero yo no podía dejar de hacer uso de la Regla de L'Hôpital.

$$\lim_{x \to \infty} \left(x^2 - x \log(1+\mathrm{e}^x)\right)$$

Puede alguien sugerir un enfoque que no se trata de la Regla de L'Hôpital?

Answer 1

Esto es claramente equivalente a mostrar que la $x(x - \log(1 + e^x)) \to 0$, o, equivalentemente, que el $\log y\lvert \log y - \log(1 + y)\rvert \to 0$ (se puede pensar de $x$$\log y$, por ejemplo).

Una definición común de $\log y$$\displaystyle\int_1^y \frac{1}{x} \mathrm{d}x$. Entonces

$$\lim_{y \to \infty} \lvert \log y - \log(1 + y)\rvert = \left\lvert \lim_{y \to \infty} \int_1^y \frac{1}{x} - \int_1^{y+1} \frac{1}{x} \mathrm dx\right\rvert = \lim_{y \to \infty} \int_y^{y+1} \frac{1}{x}\mathrm d x < \lim_{y \to \infty} 1 \cdot \frac{1}{y},$$

así que

$$\lim_{y \to \infty} \log y \lvert \log y - \log(1 + y)\rvert < \lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{y} \to 0,$$

lo que queríamos mostrar. $\diamondsuit$

Answer 2

Tenemos $$\log(1+e^x) = x + \log(1+e^{-x}) \in [x,x+e^{-x}]$$ por lo tanto $$ x^2-x\log(1+e^x) \in [-xe^{-x},0] $$ así $$\lim_{x\to +\infty}\left(x^2-x\log(1+e^x)\right) = 0$$ por medio de la compresión.

Answer 3

$\log(1+e^x) = \log[e^x(1+e^{-x})] = x + \log(1+e^{-x})$

Usted puede utilizar el poder de la serie de Registro (sustituto en $e^{-x}$) para conseguir que

$x\log(1+e^x) \approx x(x+e^{-x})$ grandes $x$.

A continuación, el límite resultante es simplemente:

$$\lim_{x\rightarrow \infty} xe^{-x} $$ which indeed is zero as $e^{-x}$ decays much faster than $x$

Answer 4

Usando el poder de la serie...

En lugar de investigar el límite de la función original, que llamamos $g(x)$, podemos investigar el límite (como $x\rightarrow\infty$)$\exp(g)$. A partir de esto, no es difícil ver que el resultado va a seguir si se demuestra que $\exp(x^2)/\exp(\exp(x))\rightarrow 0$, o que $\exp/\exp(\exp(x)/x^2)\rightarrow 0$$x\rightarrow\infty$. Por lo tanto es suficiente para demostrar que $\exp(x)/x^2\rightarrow\infty$$x\rightarrow\infty$. Esto fácilmente se sigue de que el poder de expansión de la serie de $\exp(x)$.

Por cierto, el poder de la serie es una exageración aquí, pero funciona. Observe que preguntar si $\exp(x)/x$ va al infinito, es esencialmente el mismo que preguntar si $\log(x)/x$ va a cero (véase la respuesta por mixedmath a continuación, lo que equivale a tener que demostrarlo).

Answer 5

Usted podría sándwich de la función:

$-\frac{1}{x}<x^2-x \ln(1+e^x) < x^2-x\ln(e^x) =0$

Desde ambos lados izquierdo y derecho convergen a$0$, por lo que debe la parte media.