Los espacios métricos compactos son segundos contables y el axioma de elección contable

Question

Por qué necesitamos el axioma de elección contable para demostrar el siguiente teorema: ¿todo espacio métrico compacto es contable en segundo lugar?

¿En qué paso está "oculto"?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Normalmente la prueba sería así:

Por cada $n$ defina $\mathcal U_n=\{B(x,\frac1n)\mid x\in X\}$ es claramente una cubierta abierta por lo que tiene una subcubierta finita $\mathcal V_n$ .

Por último, podemos demostrar que $\bigcup\mathcal V_n$ es una base para la topología.

Aquí se utiliza dos veces contable elección:

1. Elegimos una subcubierta finita para cada $n$ .
2. Tomamos la unión de contablemente muchos conjuntos finitos, cada uno con más de un elemento. Luego afirmamos que esta unión es contable.

Ambas cosas son consecuencia del axioma de elección contable, y no pueden demostrarse en general sin él.

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En el siguiente artículo los autores demuestran que para espacios métricos compactos la afirmación de que el espacio es separable es equivalente a la afirmación de que es contable en segundo lugar. Esto facilita encontrar un contraejemplo, ya que los espacios métricos compactos no separables son más fáciles de encontrar.

Keremedis, Kyriakos; Tachtsis, Eleftherios. " Espacios métricos compactos y formas débiles del axioma de elección. " MLQ Matemáticas. Log. Q. 47 (2001), nº 1, 117-128.

También se presentan modelos en los que fallan (es decir, existe un espacio métrico compacto que no es contable en segundo lugar).