Deje $A$ ser un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^n$. Para $r>0$, vamos a $A_r$ $r$- barrio de $A$, es decir, el conjunto de $\{x:\operatorname{dist}(x,A)\le r\}$. Es la función de $f(r) = \mu(A_r)^{1/n}$ cóncavo? ($\mu$ es la medida de Lebesgue.)
Contexto
Esto surgió en la discusión de George Lowther la respuesta, donde he afirmado que la concavidad de $f$ sigue de Brunn-Minkowski de la desigualdad. Como George Lowther señalado, este enfoque parece exigir $A$ a ser convexo. He aquí una prueba para convexo $A$.
Desde $A$ es convexa, tenemos $A=\frac12(A+A)$, el uso de Minkowski/adición de vectores. Deje $B$ ser la unidad cerrada de la bola (convexas). Para $r,s>0$ hemos $$ A+\frac{r+s}{2}B = \frac12 (a+a)+\frac r2 B + \frac s2 B = \frac12(A+rB)+\frac12(a+sB) $$ Tomando el $n$th raíz de volumen en ambos lados y el uso de la Brunn-Minkowski desigualdad, obtenemos $$ f((r+s)/2) = \mu\left(\frac12(A+rB)+\frac12(a+sB)\right)^{1/n} \ge \frac12 \mu(A+rB)^{1/n}+\frac12 \mu(a+sB)^{1/n} $$ demostrando que $f$ es punto medio-cóncavo. Ya que también es monótona, es cóncava.
La prueba se desmorona cuando la $A$ es no convexo, ya que la inclusión de $A\subset \frac12(A+A)$ va por el camino equivocado. Pero no veo un contraejemplo.
