Posibles Duplicados:
Es el valor de $\pi = 4$?¿Alguien puede explicar cómo resolver correctamente las dos paradojas en este YouTube video por James Tanton?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Philip Fourie
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Si el límite de una secuencia de curvas de $\{\mathcal{C}_n\}$ es una curva de $\mathcal{C}$, lo que hace no significa que el límite de la longitud de la $\mathcal{C}_n$ será la longitud de $\mathcal{C}$. La presentación que hace la suposición de que lo hará, pero lo que valida la suposición de que, aparte de que se siente intuitivamente para ser verdad? Este es un gran ejemplo de cómo la intuición, mientras que generalmente útil, en ocasiones puede ser hiriente. Este ejemplo puede servir como un niño del cartel para el campeón matemático de rigor.
Tome el círculo de ejemplo. Después de $N$ iteraciones, la muy desigual de la curva que tiene es todavía mucho más largo que el diámetro.
Y la escalera de ejemplo. Después de $N$ iteraciones, el extremadamente irregulares curva que tiene es todavía mucho más largo que el de la diagonal.
Como una función a partir de las curvas de longitud finita para $\mathbb{R}$, $\operatorname{length}(\phantom{x})$ no es continua. Se puede sentir como debe ser, hasta que piense en ejemplos como el tipo trajo hasta aquí.
Primero: no es una paradoja: es simplemente incorrecto. El razonamiento es incorrecto.
Acerca de $\pi = 2$ le dice: "Bueno, es evidente que nos estamos acercando al diámetro del círculo". Que es una declaración de que él no probar y cual es falso.
El mismo problema surge con la $\sqrt{2} = 2$ cuando dice: "Bien claramente esta construcción geométrica enfoques de la diagonal de la plaza". ¿Cómo sabe eso?
Todo lo que esto demuestra es que tenemos que ser cuidadosos cuando hablamos de encontrar los límites de lo puramente mirar imágenes.
"Sólo porque el sol se pone por el oeste no significa que tiene lugar en el oeste.
Edit: Hay un montón de ejemplo de las pruebas que se parecen correctas, pero que resultan ser mal cuando vamos por ellos en más detalle. Tomemos, por ejemplo, la prueba de que para los números complejos $$ 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)\cdot(-1)} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = i\cdot i = -1$$ Aquí, de nuevo, el argumento no es válido porque la regla de $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ no se mantiene para los números complejos.
duskwuff
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A la 1:00 en el video, se indica que el $2(\frac{1}{2}\times\frac{\pi r}{2})=\pi r$, lo cual es incorrecto; la primera expresión se simplifica a $\frac{\pi r}{2}$, no $\pi r$. El $\pi r$ línea de razonamiento se utiliza para demostrar que $\pi=2$.
Como la prueba de que $\sqrt{2}=2$, tenga esto en mente.
(Genial, ahora a $2=4$. Estamos reinventando incluso más cosas que las que se prevé que las de ahora.)
Realmente no llegan a nada; simplemente se ve como se hace. Tal vez sería de gran ayuda si la escalera eran menos crudo; como, en realidad, una aproximación razonable de la diagonal de la plaza, en la que la mediana de los promedios relativamente cerca de la diagonal.
