Cómo demostrarlo $\sin \angle{GAB}+\sin \angle{GBC}+\sin \angle{GCA} \le \frac{3}{2}$ para un triángulo $ABC$ con centroide $G$ ?

Question

Sea $G$ sea el centroide de $\triangle ABC$ tal que $\measuredangle{GAB}=x,\measuredangle{GBC}=y,\measuredangle{GCA}=z$ .

¿Cómo puedo demostrar que : $$\sin x +\sin y +\sin z\le \frac{3}{2}$$

Answer 1

Con poco esfuerzo, se puede demostrar que $$\sin x = \frac{1}{\sqrt{1+(2\cot\alpha+\cot\beta)^2}}$$ donde $\alpha = \angle A, \beta = \angle B, \gamma = \angle C$ . También es fácil comprobar que las cotangentes de los ángulos de cualquier triángulo satisfacen lo siguiente: $$\cot\alpha\cot\beta+\cot\beta\cot\gamma+\cot\gamma\cot\alpha = 1$$ . Por lo tanto, el problema es equivalente a la siguiente desigualdad: $$x,y,z\in\mathbb{R} : xy+yz+zx=1\rightarrow\sum_{x,y,z}\sqrt\frac{1}{1+(2x+y)^2}\leq\frac{3}{2}$$ Ahora bien, aunque creo que un ávido solucionador de desigualdades de tipo concurso podría encontrar una solución elegante a lo anterior, también se puede resolver por el método del multiplicador de Lagrange. Para empezar, hagamos la siguiente sustitución $$(2x+y, 2y+z, 2z+x)= (a,b,c)\leftrightarrow (x,y,z) = (\frac{4a-2b+c}{9},\frac{4b-2c+a}{9},\frac{4c-2a+b}{9})$$ Ahora nuestro problema es equivalente a $$-2(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca) = 27\rightarrow \sum_{a,b,c}\frac{1}{\sqrt {1+a^2}}\leq\frac{3}{2}$$ . Ahora es un ejercicio rutinario del método del multiplicador de Lagrange que produce la desigualdad se alcanza donde $a=b=c=3x=3y=3z$ lo que significa que nuestro triángulo debe ser equilátero para que esto se cumpla.

Answer 2

Sea $AA'$ , $BB'$ y $CC'$ sean medianas del triángulo.

Así, desde $\Delta ABA'$ obtenemos: $$\frac{\frac{a}{2}}{\sin{x}}=\frac{AA'}{\sin\beta}$$ o $$\sin{x}=\frac{a\sin\beta}{2AA'}$$ o $$\sin{x}=\frac{a\cdot\frac{2S}{ac}}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}$$ o $$\sin{x}=\frac{2S}{c\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}.$$ Por lo tanto, queda por demostrar que $$\sum_{cyc}\frac{1}{c\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\leq\frac{3}{4S}$$ o $$\sum_{cyc}\frac{1}{c\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\leq\frac{3}{\sqrt{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}}.$$ Ahora, por C-S $$\left(\sum_{cyc}\frac{1}{c\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\right)^2\leq\sum_{cyc}\frac{1}{c^2}\sum_{cyc}\frac{1}{2b^2+2c^2-a^2}.$$ Id est, queda por demostrar que $$\sum_{cyc}\frac{1}{a^2}\sum_{cyc}\frac{1}{2b^2+2c^2-a^2}\leq\frac{9}{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)},$$ que es $$(a^2-b^2)^2(a^2-c^2)^2(b^2-c^2)^2\geq0.$$ ¡Hecho!

Answer 3

EDITAR 1

Imaginamos o consideramos dos casos extremos como el anterior para hallar la suma de ángulos sinusoidales ,y hallar posteriormente qué conjunto tiene una suma mayor. Las sumas del caso global deben ser menores que esta suma superior.

El valor máximo es para el triángulo más redondo, es decir, un triángulo equilátero. Hay tres $\pi/6$ ángulos marcados, cuya suma es:

$$3 * \sin \pi/6 =3/2$$

Siguiente mínimo para la mayoría estrecho, una aguja como triángulo , o un diángulo con ángulos $\pi/2,0,0$ marcados, que son $\pi/2,0,$ en el límite para un triángulo acutángulo achatado de 3 lados, un lado, el mayor, es suma de los otros dos segmentos o lados.

Tiene un seno total:

$$1 + 0 + 0 = 1$$

y tomamos el valor más alto de los dos.El valor más alto para $(\sin GAB + \sin GBC + \sin GCA) \le \dfrac32,$ que es el límite superior.

Answer 4

Hay un teorema en geometría que dice que el punto $G$ está dentro del triángulo.

Así que , Únete a $A , B$ y $C.$

Es evidente que $x + y + z < 90$

Utilizando el teorema extremo de lagrange para funciones multi variables, Encuentra el máximo

de $\sin x + \sin y + \sin z$ con la condición $x + y + z < 90$

Su máximo es $\frac{3}{2}$