Span lineal en la intersección de espacios de Hilbert

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial. Suponga $H_1$ $H_2$ son subespacios de $V$, y que tanto $H_1$ $H_2$ son espacios de Hilbert con el interior-productos de $\langle \cdot, \cdot\rangle_1$ $\langle \cdot,\cdot\rangle_2$ respectivamente. Deje $x\in H_1$, y deje $\left\{h_n,\,n\in\mathbb{N}\right\}$ ser un ortonormales conjunto en $H_1$ (no necesariamente una base en la que $$\big\Vert x - \sum_{k=1}^n\langle x, h_k\rangle_1 h_k\big\Vert_1 \underset{n\rightarrow\infty}\longrightarrow 0,$$ that is, $x$ lies in the closed linear span of $\left\{h_n\right\}$.

Supongamos ahora que $x\in H_2$$\left\{h_n\right\}\subset H_2$. Aviso que desde $\left\{h_n\right\}$ es ortonormales en $H_1$, es linealmente independiente en $H_1$ y, por tanto, en $V$$H_2$, pero no necesariamente ortogonal en $H_2$. Deje $\left\{e_n,\,n\in\mathbb{N}\right\}$ ser un ortonormales conjunto en $H_2$ obtenido por una bacteria Gram-Schmidt proceso en $\left\{h_n\right\}$, es decir, tal que $\mbox{span}\left\{e_1,\dots,e_n\right\} = \mbox{span}\left\{h_1,\dots,h_n\right\}$ por cada $n$. Es cierto que $$\big\Vert x - \sum_{k=1}^n\langle x, e_k\rangle_2 e_k\big\Vert_2 \underset{n\rightarrow\infty}\longrightarrow 0?$$

Editado

En respuesta al usuario gerw: voy a ser más específico y tal vez podemos relacionar las dos normas. Dadas dos medidas de probabilidad $\mu$$\nu$$(\mathbb{R},\mathcal{B})$, tanto equivalente a la medida de Lebesgue, vamos a $V$ ser el espacio vectorial de $\mu$-clases de equivalencia de funciones medibles $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ (que, por supuesto, igual que el conjunto de $\nu$-clases de equivalencia de funciones), vamos a $H_1 = L^2(\mu)$$H_2 = L^2(\nu)$.

Deje $T_\mu:L^2(\mu)\rightarrow L^2(\mu)$ ser el positivo de Hilbert-Schmidt operador definido por $$T_\mu f(x) = \int c(x,y) f(y) d\mu(y),\qquad f\in L^2(\mu)$$ where $c$ is a bounded, measurable kernel. Define $T_\nu$ del mismo modo.

Me da un cierto acotado medible función de $\varphi$, de forma que ambos $$\big\Vert \varphi - \sum_{k=1}^n\langle \varphi, h^\mu_k\rangle_1 h^\mu_k\big\Vert_1 \underset{n\rightarrow\infty}\longrightarrow 0\quad \mbox{and} \quad\big\Vert \varphi - \sum_{k=1}^n\langle \varphi, h^\nu_k\rangle_2 h^\nu_k\big\Vert_2 \underset{n\rightarrow\infty}\longrightarrow 0$$ hold, where $\left\{h^\mu_n\right\}$ is the orthonormal set of eigenfunctions of $T_\mu$, and similarly for $\left\{h^\nu_n\right\}$. I'd like to show that $\varphi$ is the $\Vert\cdot\Vert_2$-limit of linear combinations of the $h^\mu_n$.

Mi pregunta puede reformularse de la siguiente manera: es el $\Vert\cdot\Vert_2$-cierre de $\mbox{span}\left\{h_n^\mu\right\}$ igual a la $\Vert\cdot\Vert_2$-cierre de $\mbox{span}\left\{h_n^\nu\right\}$?

Answer 1

Deje $H_1 = L^2[0,\pi]$, y vamos a dejar que $H_2$ ser el subespacio de funciones absolutamente continuas en $[0,2\pi]$ con primera derivada en $L^2$ y con Sobolev norma $$ \|f\|_2 = \sqrt{\|f\|_{L^2}^{2}+\|f'\|_{L^2}^{2}}. $$ Definir $h_n(x) = \sin(nx)$$n=1,2,3,\cdots$. A continuación,$\{ h_n \} \subset H_2$. La función constante $1$ $H_1, H_2$ también. El conjunto $\{ \sqrt{2}\sin(nx)\}_{n=1}^{\infty}$ es una completa base ortonormales de $H_1$. Por lo tanto, $$ \lim_N\left\|1 - 2\sum_{n=1}^{N}(1,\sin(nx))_1\sin(nx)\right\|_{L^2} = 0. $$ Las funciones de $\{ \sin(nx) \}_{n=1}^{\infty}$$H_2$, e $1\in H_2$. Sin embargo $1$ no está en el cierre de la lineal lapso de $\{ \sin(nx)\}_{n=1}^{\infty}$ $H_2$ debido a la convergencia en $H_2$ implica la convergencia uniforme en $[0,\pi]$; para ver por qué, \begin{align} f(x) & =xf(x)+(1-x)f(x) \\ & =\int_{0}^{x}\frac{d}{dt}(tf(t))dt -\int_{x}^{1}\frac{d}{dt}((1-t)f(t))dt \\ & =\int_{0}^{x}\{f(t)+tf'(t)\}dt-\int_{x}^{1}\{-f(t)+(1-t)f'(t)\}dt,\\ |f(x)| & \le \|f\|_{L^2}\|1\|_{L^2}+\|f'\|_{L^2}(\|t\|_{L^2}+\|1-t\|_{L^2}) \\ & \le C\sqrt{\|f\|_{L^2}^2+\|f_{L^2}'\|_1^2} \\ & = C\|f\|_{2}. \end{align}