Me gustaría determinar la naturaleza de la serie siguiente:
$$\sum_{n\ge 2}\prod_{k=2}^n (2-e^{\frac{1}{k}})$$
Que $u_n = \prod_{k=2}^n (2-e^{\frac{1}{k}})$.
Para "Tener": $$\begin{aligned} \ln(u_n) &= \sum \ln(2-e^{1/k}) \\& \approx \sum \ln(1-1/k + o(1/k))\\ & \approx \sum 1/k- o(1/k))\\ & \approx -\ln(n) = \ln(1/n)\end{alineado} $$ así que supongo que el $u_n = \Theta (1/n)$ y $\sum u_n$ divergen. Pero todos esos cálculos no son correctos ya que $k$ no siempre es "grande" y no podemos sumar '$o$' arbitrariamente.