Cómo demostrar que un límite existe utilizando el $\epsilon$ - $\delta$ definición de límite

Question

Entiendo cómo encontrar un límite. Comprendo el concepto de $\epsilon$ - $\delta$ definición de un límite. ¿Puedes guiarme a través de lo que estamos haciendo en este ejemplo trabajado?

Es del manual de soluciones para estudiantes de mi libro de texto. Necesito ayuda para entender lo que decimos aquí, y por qué. Entiendo las expresiones matemáticas, pero no entiendo por qué elegimos las que elegimos, y por qué y cómo demuestran algo. ¿Pueden ayudarme?

Encontrar el límite $$ \lim\limits_{x \to 1} \ (x+4) ,$$ y demostrar que existe utilizando el $\epsilon$ - $\delta$ definición de límite.

Por sustitución directa, el límite es $5$ . Entendido. Ahora, aquí es donde empiezo a confundirme...

Dejemos que $\epsilon > 0$ se le dará.

Elija $\delta = \epsilon$ .

$$ 0 < | x-1 | < \delta = \epsilon .$$

$$ | (x+4) - 5 | < \epsilon $$

$$ | f(x) - L | < \epsilon $$

Probado.

Eh, vale, si tú lo dices... Ahora, ¿qué pasa aquí línea por línea y término por término?

Answer 1

Quiere demostrar que $\lim\limits_{x\to 1}(x+4) = 5$ utilizando $\epsilon$ - $\delta$ .

Dejemos que $\epsilon\gt 0$ . Tenemos que demostrar que existe un $\delta\gt 0$ tal que

Si $0\lt |x-1|\lt \delta$ entonces $|f(x)-5|\lt \epsilon$ .

Ahora, queremos pensar un poco: ¿cómo será el tamaño de $|x-1|$ afectan al tamaño de $|f(x)-5|$ ? Desde $f(x)=x+4$ observamos que $|f(x)-5| = |(x+4)-5| = |x-1|$ es decir, el tamaño de $|f(x)-5|$ es igual al tamaño de $|x-1|$ . Así que para asegurarse de que $|f(x)-5|\lt \epsilon$ basta con exigir que $|x-1|\lt\epsilon$ .

Así, podemos seleccionar $\delta=\epsilon$ . Entonces $\delta\gt 0$ y si $0\lt |x-1|\lt\delta$ entonces se deduce que $|f(x)-5|\lt\epsilon$ .

Así, para todos los $\epsilon\gt 0$ existe un $\delta\gt 0$ (A saber, $\delta=\epsilon$ ) con la propiedad de que si $0\lt |x-1|\lt \delta$ entonces $|f(x)-5|\lt \epsilon$ . Esto demuestra que $\lim\limits_{x\to 1}f(x) = 5$ , según se desee. $\Box$

Eso es lo que tienes, sólo que con un montón de palabras lanzadas en el medio...

Answer 2

Me gustaría compartir un ejemplo trabajado de una prueba de límite épsilon - delta que se encuentra en: http://www.karlscalculus.org/x2_1.html y se reproduce aquí para su comodidad. Karl Hahn explica cada paso de la prueba para que incluso un principiante en pruebas como puede entenderlo completamente.

Ejemplo de trabajo

Demuestra el siguiente límite:

$$\lim_{x 2}\frac{2 (x^2 - 4)}{(x - 2)} = 8 \qquad\qquad\text{eq. 2.1x-1}$$

utilizando el método delta-epsilon. Es evidente que no podemos evaluar esta función en $x = 2$ porque eso supondría un denominador cero.

Recordamos del álgebra que $x^2 - 4$ es la diferencia de cuadrados y, por tanto, puede ser fácilmente factorizada.

$$x^2 - 4 = (x + 2) (x - 2)$$ Demos un nombre a la función que intentamos encontrar el límite de la misma. Llamémosla $f(x)$ . Así que tenemos:

$$f(x) = \frac{2 (x^2 - 4)}{(x - 2)} = \frac{2 (x + 2) (x - 2)}{(x - 2)} \qquad\qquad\text{eq. 2.1x-2}$$

Claramente en todos los valores de $x$ excepto $x = 2$ obtenemos una cancelación, y esto es lo mismo que: $$f(x) = 2 (x + 2) \qquad\qquad\text{eq. 2.1x-3}$$ Por tanto, lo anterior es válido para cualquier valor de $x$ excepto $2$ . Eso significa que podemos evaluar $f(x)$ utilizando esta expresión y obtener la respuesta correcta siempre que x nunca sea igual a 2. Así que si demostramos que $$\lim_{x 2} \;\;2 (x + 2) = 8 \qquad\qquad\text{ eq. 2.1x-4}$$

entonces hemos resuelto el problema. ¿Entiendes por qué? Recuerda que todas las expresiones que hemos hecho para $f(x)$ son funciones idénticas para cualquier valor de $x$ además de $2$ . Tomando el límite de $f(x)$ como $x$ se destina a $2$ significa no tener que evaluar nunca $f(x)$ en $x = 2$ . Así que en todos los lugares que tenemos que evaluar, todas las formas de $f(x)$ son efectivamente idénticos, incluyendo $f(x) = 2 (x + 2)$ .

Ahora llegamos a la parte delta-epsilon de la prueba. Tenemos que arreglar un esquema por el cual usted puede decirme cuán cerca $f(x)$ tiene que ser para $8$ (es decir, me das una $$) and based upon that can tell you how close $ x $ has to be to $ 2 $ to make it true (i.e. I can give you a $$ que lo hace cierto).

Bien, vamos a plantear una ecuación que muestre lo que ocurre cuando utilizamos una x que está dentro de 2.

$$f(2 ± ) = 2 ( (2 ± ) + 2) \qquad\qquad\text{ eq. 2.1x-5}$$ Recordando que $$ is always greater than zero (and more importantly it never is zero), we can see that in the above, we still never have to evaluate $ f(x) $ at the forbidden value. So we just multiply out the above expression: $$ f(2 ± ) = 8 ± 2 \qquad\qquad\text{ eq. 2.1x-6} $$ The requirement is that we have to be able to choose $$ para que el valor anterior no se aleje del límite (que en este caso es $8$ ) que el $$ that you might give me, no matter how small an $$ que me das. Así que al darme un $$, you are telling me to make it so that: $$ |f(2 ± ) - 8| \qquad\qquad\texto{ec. 2.1x-7} $$ But we can get an expression for what's inside the absolute value brackets from stuff we have already done. Just take equation 2.1x-6 and subtract $ 8 $ from both sides. If you substitute that in for $ 2 ± $, you get: $$ |± 2 | |qquad\qquad\texto{c. 2.1x-8} $$ and since the absolute value brackets make the ± sign moot, we have simply: $$ 2 \qquad\qquad\text{ eq. 2.1x-9}$$ o
$$ \frac{}{2} \qquad\qquad\text{eq. 2.1x-10}$$ Así que, si me golpeas con cualquier $$, all I have to tell you is to try a $$ que sea inferior o igual a la mitad de su $$. In other words we have established a scheme that turns $$ 's en $$'s, and the scheme always gives you a $$ que hace que la función entre en $$ of $ 8$. Y eso significa que hemos terminado con la prueba.