la función está dada por $$f(t)=\dfrac{1}{e^{at}-1}$$ Ahora, sé que de la definición que hemos de evaluar esta integral $$\begin{align}\mathcal{F}[f(t)]&=\int_{0}^{\infty}e^{-j \omega t}\left(\dfrac{1}{e^{at}-1}\right)\,dt \\&=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-t(j\omega+an)}\,dt \\&=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{j\omega+an}\end{align}$$ Es la forma correcta de enfoque ?
Respuesta
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Andy Walls
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Como lo que yo puedo decir, la integral diverge, pero aquí la forma en que se puede atacar el problema a través de conocidos de la transformada de Fourier de pares y la transformada de Fourier de teoremas.
Supongo $a > 0$, $H(t)$ es la unidad de Los función de paso, y voy a usar la sustitución de $\omega = 2\pi s$ el uso de la transformada de Fourier de la forma con la que me siento más cómodo.
$$I = \int_{0}^{\infty} e^{-2\pi ist}\left(\dfrac{1}{e^{at}-1}\right)dt$$ $$= \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{e^{\frac{a}{2}t}}\cdot\dfrac{2}{e^{\frac{a}{2}t}-e^{-\frac{a}{2}t}}\cdot e^{-2\pi i st}dt$$ $$= \dfrac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} H\left(\frac{a}{2}t\right) e^{-\frac{a}{2}t}\text{cosech}\left(\frac{a}{2}t\right)e^{-2\pi ist}dt$$ $$= \dfrac{1}{2} \mathscr{F}\left\{H\left(\frac{a}{2}t\right) e^{-\frac{a}{2}t}\right\}*\mathscr{F}\left\{\text{cosech}\left(\frac{a}{2}t\right)\right\}$$
Se busca la transformación de los pares en La transformada de Fourier y Sus Aplicaciones, por Ronald N. Bracewell, amd la aplicación de algunos teoremas de la transformada de Fourier de que se encuentra en ese mismo texto, se han
$$= \dfrac{1}{2}\dfrac{2}{a}\left[\dfrac{1-i2\pi s \frac{2}{a}}{1+\left(2\pi s\frac{2}{a}\right)^2}\right]*-i\dfrac{2\pi}{a}\tanh\left(\pi s \frac{2\pi}{a}\right)$$
Que después de un poco de álgebra y de la sustitución de $2\pi s = \omega$ rendimientos
$$= -\left(\dfrac{\pi}{a}\right)^2\left(\dfrac{1}{\dfrac{\pi}{a}\omega -i\dfrac{\pi}{2}}\right) * \tanh\left(\dfrac{\pi}{a}\omega \right)$$
Con un poco de pensamiento, es fácil (al menos para mí) para ver que la convolución diverge.
