Hay multidimensional algebraica de los números que no son números algebraicos?

Question

Nota, en el siguiente, cuando estoy hablando de soluciones en múltiples dimensiones, en comparación con aquellos en una dimensión, lo que quiero decir es que cada coordenada en su propio debería ser considerado como una sola dimensión de la solución.
Así, por ejemplo, si tengo $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_1\\ s_2 \end{bmatrix}$, then I consider $s_1$ and $s_2$ dos soluciones separadas, apesar de que normalmente claramente son sólo una solución de dos dimensiones. Esto es por lo que puedo comparar con unidimensional soluciones. Toda la premisa de la pregunta no tendría sentido si no fuera por eso.

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El conjunto de los números algebraicos es el conjunto de raíces de polinomios de grado arbitrario $n$ con coeficientes enteros $a_i$.

$$P_n{\left[x\right]} = \sum_{i = 0}^{n}{a_i x^i}\\ \mathbb{\overline{Q}_n} : \left\{ x | P_n{\left[x\right]} = 0 \right\}\\ \mathbb{\overline{Q}} : \text{valores } \mathbb{\overline{Q}_n}\text{ para cualquier } n.$$

Si intenta conectar en números algebraicos como los coeficientes de los polinomios, no vas a encontrar nada nuevo. Las soluciones serán todos los números algebraicos así.

Esto es cierto si usted permitir mayores dimensiones polinomios?

Decir que un polinomio de la forma $a_{2 0} x^2 + a_{0 2} y^2 + a_{1 1} x y + a_{1 0} x + a_{0 1} y + a_{0 0} = 0$ donde $a_{i j} \in \mathbb{Z}$ $a_{2 0}, a_{0 2}, a_{1 1}$ no puede ser cero.

Si no me equivoco, esto no es aún suficiente ya que tendrás una infinidad de soluciones que forman una $1$-dimensiones del subespacio. Así que vamos a añadir un segundo polinomio de la misma forma para arreglar un par de puntos.

$$\begin{align*} a_{2 0} x^2 + a_{0 2} y^2 + a_{1 1} x y + a_{1 0} x + a_{0 1} y + a_{0 0} & = 0 \\ b_{2 0} x^2 + b_{0 2} y^2 + b_{1 1} x y + b_{1 0} x + b_{0 1} y + b_{0 0} & = 0 \\ a_{i j}, b_{i j} & \in \mathbb{Z} \end{align*}$$

y los seis términos del grado más alto no puede ser cero, por lo que al menos un polinomio tiene grado $2$.

Mientras estas ecuaciones son independientes, sólo un discreto conjunto finito de soluciones debe ser a la izquierda. Declaro que estas soluciones se bidimensional de números algebraicos de segundo grado. Son estas soluciones, la misma que (unidimensional) números algebraicos?

Tratando de salir de este esquema para el primer grado del caso (por lo que sólo los sistemas de ecuaciones lineales), es fácil ver que los resultados van a ser sólo los números racionales, que ya están totalmente cubiertos por la (unidimensional) de primer grado algebraico números (es decir, números Enteros y Números Racionales). Basándose en este resultado, mi corazonada es que la respuesta a la pregunta del título será negativo: números Algebraicos ya completamente cubierta de este caso para todos los grados y todas las dimensiones. Pero, por supuesto, el grado $1$ caso es trivialmente representado en álgebra lineal, por lo que fácilmente podría ser el caso de que no algebraicas existen soluciones sólo para los grados superiores. Así es mi corazonada correcta?

Bono de la pregunta 1: (Suponiendo que mi corazonada es correcta) de dimensiones superiores soluciones de cambio en el grado? I. e. Puedo representar (unidimensional) números algebraicos de grado $>n$ soluciones para sistemas multidimensional de ecuaciones polinómicas de grado $n$?

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Solución a contar a partir de ahora será en el sentido normal: $\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}s_1\\s_2\end{bmatrix}$ es la única solución.

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Bono de la pregunta 2: ¿cuántos de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas de grado $n$ $d$ dimensiones generalmente tienen?

Answer 1

Usted no va a obtener nada nuevo. Los puntos de $(x,y)$ que son soluciones de su par de ecuaciones tienen las coordenadas que son números algebraicos.

Dadas dos (independiente) ecuaciones polinómicas $f(x,y)=0$ $g(x,y)=0$ la resultante de las $R=R(f,g)$ es un polinomio con coeficientes en $\overline{\Bbb{Q}}[y]$ con la propiedad de que la $y$-coordenadas de cualquier punto en la intersección es un cero de $R$ (en general los coeficientes de $R$ será en el mismo campo como los de $f$$g$). Ver la página de la Wikipedia sobre Resultantes para los enlaces y mucho más. Por supuesto, cuando se $y$ es algebraicas $x$ será también.

Una forma diferente de ver es que un punto de $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ trascendental coordenadas (en el campo de la definición de $K$) siempre será un punto genérico para una variedad de dimensión que es igual a la trascendencia grado de la extensión de $K(x_1,x_2,\ldots,x_n)/K$. En otras palabras, si usted tiene trascendental coordenadas en una solución, entonces el conjunto de soluciones es, al menos, de una sola dimensión.

Answer 2

Aquí es una manera de expresar lo que Jyrki dijo de forma ligeramente diferente (aunque me gusta su redacción mejor, esto es sólo para agregar una perspectiva diferente).

Deje $R=k[x,y]/(f,g)$$X=\text{Spec}(R)$. Suponga que $f$ $g$ no tienen irreductible factores en común. Afirmo que esto implica $X$ $0$- dimensional. De hecho, vamos a $Y\subseteq X$ ser una componente irreducible de $X$. A continuación, $Y$ corresponde a un mínimo prime $\mathfrak{p}\supseteq (f,g)$. Si $\mathfrak{p}$ no la máxima, a continuación, $\mathfrak{p}=(h)$ para un polinomio irreducible $h$ y esto implica entonces que el $h\mid f,g$ contradicen nuestra hipótesis. Por lo tanto, $\mathfrak{p}$ es máxima y por lo tanto $Y=\text{Spec}(k[x,y]/\mathfrak{p})$ $0$- dimensional.

Esto implica entonces que el $R$ $0$- dimensional $\mathbb{Q}$-álgebra. Esto es algo evidente si se utiliza Jyrki el resultado de la relación Krull dimensión y trascendencia grado, pero hay un método más sencillo en este caso (usando solo lo básico de álgebra conmutativa). Es decir, desde que $R$ $0$- dimensional y Noetherian es Artinian. Pero, entonces, esto significa que $R=A_1\times\cdots\times A_n$ $A_i$ Artin local de los anillos. Ahora, si $\mathfrak{m}_i$ denota el ideal maximal de a $A_i$ $A_i/\mathfrak{m}_i$ es finito-dimensional sobre $\mathbb{Q}$ (esto sigue desde $A_i$ es finitely generado más de $\mathbb{Q}$--este es el Nullstellensatz). Nota, a continuación, tenemos la filtración natural de $A_i$ $\mathbb{Q}$- subespacios

$$A_i\supseteq\mathfrak{m}_i\supseteq\cdots\supseteq\mathfrak{m}_i^k=\{0\}$$

vamos, a continuación, hacer (mostrando que $A_i$ es finito-dimensional) si podemos mostrar que cada una de las $\mathbb{Q}$espacio $\mathfrak{m}_i^\ell/\mathfrak{m}_k^{\ell+1}$ es finito-dimensional. Pero, tenga en cuenta que es la dimensión en el $A_i/\mathfrak{m}$ (que es finito-dimensional $\mathbb{Q}$-álgebra) es finito, ya que es de dimensión (por Nakayama del lema) es un mínimo grupo electrógeno $\mathfrak{m}_i^\ell$ (que es finito desde $A_i$ es Noetherian). Por lo tanto, el $A_i$, y por lo tanto $R$ es finito-dimensional sobre $\mathbb{Q}$.

Así que, ahora, supongamos que el $(x,y)\in K^2$ es una solución a $f=g=0$ (donde $K$ es cualquier campo de la característica $0$--quizás $K=\mathbb{C}$ es la opción obvia de su instalación). A continuación, tenga en cuenta que $\mathbb{Q}[x,y]\subseteq K$ tiene la propiedad de que es un cociente de $R$ y por lo tanto, finito-dimensional como una $\mathbb{Q}$-álgebra. Esto implica que

$$\mathbb{Q}[x,y]\subseteq\{\alpha\in K:\alpha\text{ algebraic over }\mathbb{Q}\}$$

o, dicho de otra manera, que $x,y\in\overline{\mathbb{Q}}$.

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Tal vez buena manera de pensar acerca de esto conceptual (con un montón de barrido debajo de la alfombra) es la siguiente. Para un número finito de tipo $\mathbb{Q}$-esquema de la cerrada puntos de $X$ corresponden (esencialmente--uno debe mod a cabo por un Galois de acción) a la $\overline{\mathbb{Q}}$puntos $X(\overline{\mathbb{Q}})$. Así, uno debe ver que $X$ produce no algebraicas puntos precisamente al $X$ no tiene cerrado puntos. Dicho esto, un finito (tipo $\mathbb{Q}$-esquema de sistema de $X$ es cero-dimensional si y sólo si se compone de un número finito de puntos cercanos. Por eso, $X$ no algebraicas puntos si y sólo si es cero-dimensional.

Si te gusta el álgebra, entonces uno puede frase esta última condición de la siguiente manera. El sistema de $f_1=\cdots=f_k=0$ ( $f_i\in \mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$ ) no algebraicas puntos si y sólo si $\sqrt{(f_1,\ldots,f_k)}$ NO es un producto de la máxima ideales. Así, en el ejemplo concreto, si $(a_i,b_i)$ el valor del un número finito de soluciones de $f=g=0$

$$\sqrt{(f,g)}=\prod_i (x-a_i,y-b_i)$$

que muestra por qué su ejemplo no produce no algebraicas de los números.

Sólo como un ejemplo tonto: el no algebraicas punto de $(\pi,\pi^{-1})$ $\mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}=\text{Spec}(\mathbb{Q}[x,y]/(xy-1))$ da lugar a que el punto de $(0)=(xy-1)$ (ya que este es el núcleo del mapa $\mathbb{Q}[x,y]\to\mathbb{Q}[\pi,\pi^{-1}]$$x\mapsto \pi, y\mapsto \pi^{-1}$) la cual no es un punto cerrado.

EDIT: Aquí es otro criterio que creo que te pueden gustar. Me dicen que si $f_i\in k[x_1,\ldots,x_n]$ $f_1=\cdots=f_k=0$ sólo tiene solución algebraica (en algunos extensión de campo $K/\mathbb{Q}$) si y sólo si para uno (de forma equivalente, todas) algebraicamente cerrado extensiones $L/\mathbb{Q}$ el sistema de $f_1=\cdots=f_k=0$ tiene un número finito de raíces.

De hecho, la etiqueta de las implicaciones

1. $f_1=\cdots=f_k=0$ sólo tiene soluciones algebraicas.
2. $f_1=\cdots=f_k=0$ tiene un número finito de soluciones en $\overline{\mathbb{Q}}$.
3. $f_1=\cdots=f_k=0$ tiene un número finito de soluciones en cualquier $K/\mathbb{Q}$.
4. $f_1=\cdots=f_k=0$ tiene un número finito de soluciones en algunos $L/\mathbb{Q}$$L=\overline{L}$.

-1. implica 2. desde que se demostró que en esta $X:=\text{Spec}(R)$ $R:=k[x_1,\ldots,x_n]/(f_1,\ldots,f_k)$ $0$- dimensional y tan discreta y tan (por Noetherianess) finito.

-2. implica 1. sigue de Noether normalización. Es decir, si 1) no se sostiene, a continuación, $X$ sería positivo dimensiones, por lo que surject en algunos $\mathbb{A}^r_\mathbb{Q}$$r\geqslant 1$, por lo que, en consecuencia, tienen una infinidad de $\overline{\mathbb{Q}}$-puntos.

-2. implica 3. porque desde $X$ es una colección finita de $\overline{\mathbb{Q}}$-puntos por la equivalencia de 1. y 2.

-3. implica 4. obviamente.

-4. implica 2. obviamente.

Así, su proceso de agregar más ecuaciones para reducir el número de soluciones de una cantidad finita condenado a su búsqueda de no algebraicas puntos desde el principio.