Mostrar que $\lim\limits_{r\to\infty} \textrm{\{} \|x-ru\|-\|y-ru\| \textrm{}\} = \left<y-x,u\right>$

Question

Deje $x,y,u \in \mathbb{R}^2, r\in\mathbb{R}$ $\|\cdot\|$ ser la norma. Mostrar que $$\lim\limits_{r\to\infty} \textrm{\{} \|x-ru\|-\|y-ru\| \textrm{}\} = \left<y-x,u\right>$$

Tengo que intentó utilizar la polarización de la identidad, pero todavía estoy atascado. Yo no soy capaz de deshacerse de la variable $r$ o eliminar el límite. Cualquier ayuda o idea es apreciado. Tal vez el lado derecho de la anterior no es correcta en la/forma precisa, como en mi análisis de la $||u||=1$, pero más o menos RHS se debe lograr en una forma similar.

Answer 1

Poner a $\varepsilon=\frac{1}{|r|}$$\delta=-2\frac{\left< x,u \right>}{\|u\|^2}\varepsilon +\varepsilon^2$, uno tiene

$$ \begin{array}{lcl} \| x-ru \| &=& \sqrt{ \| x-ru \|^2 } \\ &=& \sqrt{ \| x \|^2 -2r \left< x,u \right> +r^2 \|u\|^2 } \\ &=& |r| \| u \| \sqrt{ 1 -2\frac{\left< x,u \right>}{\|u\|^2}\varepsilon +\varepsilon^2 } \\ &=& |r| \| u \| \sqrt{ 1 +\delta } \\ &=& |r| \| u \| \bigg( 1 +\frac{\delta}{2}+o(\delta) \bigg) \\ &=& |r| \| u \| \bigg( 1 -\frac{\left< x,u \right>}{\|u\|^2}\varepsilon+o(\varepsilon) \bigg) \\ &=& |r| \| u \| -\frac{\left< x,u \right>}{\|u\|}+o(1) \\ \end{array} $$

La resta, se deduce

$$ \| x-ru \|-\| y-ru \|=\frac{\left< y-x,u \right>}{\|u\|}+o(1). $$

Answer 2

Aquí $||u||=1$. A continuación,$\lim\limits_{r\to\infty} \textrm{\{} \|x-ru\|-\|y-ru\| \textrm{}\} = \lim\limits_{r\to\infty} \textrm{\{} \frac{r[||x/r||^2-||y/r||^2+2<((y-x)/r,u>|]}{||x/r-u||+||y/r-u||} \textrm{}\}=<y-x,u>$. Me han hecho uso de la polarización de la identidad.

Answer 3

\begin{align} \|x-ru\|-\|y-ru\| \textrm{} &= \sqrt {\langle x,x \rangle - 2r\langle x,u \rangle + r^2\langle u,u \rangle} -\sqrt {\langle y,y \rangle - 2r\langle y,u \rangle + r^2\langle u,u \rangle } \\ &= \frac {(\langle x,x \rangle - 2r\langle x,u \rangle + r^2\langle u,u \rangle) -(\langle y,y \rangle - 2r\langle y,u \rangle + r^2\langle u,u \rangle)} {\sqrt{\langle x,x \rangle - 2r\langle x,u \rangle + r^2\langle u,u \rangle } +\sqrt{\langle y,y \rangle - 2r\langle y,u \rangle + r^2\langle u,u \rangle }}\\ &= \frac {\langle x,x \rangle - \langle y,y \rangle + 2r\langle y-x,u \rangle} {\sqrt{\langle x,x \rangle - 2r\langle x,u \rangle + r^2\langle u,u \rangle } +\sqrt{\langle y,y \rangle - 2r\langle x,y \rangle + r^2\langle u,u \rangle }} \\ &= \frac { \dfrac {\langle x,x \rangle- \langle y,y \rangle} {r} + 2\langle y-x,u \rangle } { \sqrt { \dfrac{\langle x,x \rangle}{r^2} - 2\dfrac{\langle x,u \rangle}{r} + \langle u,u \rangle } +\sqrt { \dfrac{\langle y,y \rangle}{r^2} - 2\dfrac{\langle x,y \rangle}{r} + \langle u,u \rangle } } \\ &\to \frac{\langle y-x,u \rangle}{\|u\|} \text{ as } r \to \infty \end{align}