Computación $(1+\cos \alpha +i\sin \alpha )^{100}$

Question

Cómo probar que

$$‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎(1+‎\cos ‎‎\alpha ‎+i‎\sin ‎‎\alpha ‎)^{100} =‎ ‎2^{100}‎\left( ‎‎\cos \left(‎\frac{‎\alpha‎}{2}\right)‎\right) ‎^{100} ‎‎\left( ‎‎\cos \left(‎\frac{100‎\alpha‎}{2}\right)+i‎\sin \left(‎\frac{100‎\alpha‎}{2}\right)‎\right)‎‎$$

Sólo tengo una sugerencia. Traté de escribir $1+‎\cos ‎‎\alpha ‎+i‎\sin ‎‎\alpha$ en forma polar y el uso De,el teorema de Moivre. Pero era imposible calcular $\arctan \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}$.

Answer 1

$$1+\cos\alpha+i\sin \alpha=1+e^{i\alpha}=e^{\frac{i\alpha}{2}}(e^{-\frac{i\alpha}{2}}+e^{\frac{i\alpha}{2}})=2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)e^{\frac{i\alpha}{2}}$$

Answer 2

Sugerencia: haga doble ángulo fórmulas para el seno y el coseno, tenemos $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)}.$$

Answer 3

La figura a continuación debe hacer que sea fácil para simplificar la expresión $\arctan \dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$. Nota el triangulo isoceles; usted está buscando el ángulo en el vértice $A$.