La equivalencia entre la FA y $AF^{*}$

Question

Tengo un problema con la prueba de esto:

Deje $AF^{*}$ ser el axioma esquema de $(\forall x(\forall y \in x \varphi(y) \to \varphi (x))) \to \forall x \varphi (x)$, donde la variable y no se produce en $\varphi (x)$. Mostrar, en $ZF^{-}−Pow$, que $AF$ $AF^{∗}$ son equivalentes.

De hecho, me demuestran que $AF \implies AF^{*}$, pero no sé cómo demostrar a la otra implicación.

Me proceder de esta manera:

Yo sé que no existe una fórmula $\psi$ en el lenguaje de ZF que expresan la propiedad de que x está bien fundada. Cojo un elemento de una, supongo que $\forall y \in a$ $ \psi(y)$ sostiene y estoy tratando de demostrar $\psi (a)$. Para ello he arguin por absurdo. Así, supongamos que una no está bien fundada. En este punto me gustaría concluir que x está bien fundada, porque todos los de su elemento están bien fundadas, pero creo que no se puede utilizar este hecho para demostrar este hecho, debo tener el axioma de fundación. (en la conferencia que vamos a comprobar en este modo). ¿Cómo puedo llegar a un absurdum?

Answer 1

Aquí hay una manera de hacerlo. Deje $\phi(x)$ = "todos los no-vacío es subconjunto de a $tc(x)$ está bien fundada" (es decir, si $y\subseteq tc(x)$$y\not= \emptyset$, entonces hay algunas $z\in y$ tal que $z\cap y = \emptyset$). Ahora, supongamos que todos los $y\in x$ es tal que $\phi(y)$ pero $\neg\phi(x)$. A continuación, hay algunas que no está vacía $z\subseteq tc(x)$ que no es bien fundada. Deje $w\in z$. A continuación, $w = y$ o $w\in tc(y)$, para algunas de las $y\in x$. De cualquier manera, $tc(w)\cap z$ es una ong fundada subconjunto de $tc(y)$, que contradice nuestra suposición.

Así, hemos establecido que por cada $x$ si todos los $y\in x$$\phi$,$x$$\phi$. La aplicación de la FA$^*$ conseguimos que cada subconjunto de $tc(x)$ está bien fundada; es decir, tenemos AF.