¿Por qué es el período de pecado(2x) π?

Question

En mi libro de texto, se establece que el período de $sin(2x)$$π$. El autor justifica esta usando un enunciado matemático que no puedo entender. Él escribe que, desde $sin(2x) = sin(2x+2π) = sin(2(x+π))$ el período de $sin(2x)$$π$.

Aunque mi intuición me dice que el período de $sin(2x)$ es π, simplemente no puedo entender este razonamiento. A mí el período de $sin(2x)$ parece ser a $2π$ desde $sin(2x)=sin(2x+2π)$. Yo estaría muy agradecido si alguien pudiera explicar este razonamiento para mí.

Answer 1

El período de $\sin$$2\pi$; por lo $\sin (2x + 2\pi) = \sin (2x)$ todos los $x$. Por otro lado, tenemos a $\sin (2x + 2\pi) = \sin (2(x+\pi))$ todos los $x$. Así $$\sin (2x) = \sin (2(x+\pi));$$ por definición, la función de $x \mapsto \sin (2x)$ periodo $=\pi$.

Tenga en cuenta que $x \mapsto \sin (2x)$ es una función de composición; por lo que no es obvio cómo vincular la definición de funciones periódicas con el presente caso. Supongo que podría ser que este confundido.

Answer 2

Por la definición de un período de una función real $f$: $$T=\inf_{t \in \mathbb R}\{t\mid \forall x\in \mathbb R:f(x)=f(x+t)\}$$ Podemos deducir de que el período de $f(x)=\sin(2x)$: $$T_{\sin(2x)}=\inf_{t \in \mathbb R}\{t\mid \forall x\in \mathbb R:\sin(2x)=\sin(2x+2t)\}=\pi$$

Answer 3

El período de una función de $f$ es (de manera informal) el menor valor de $k$ (si la hubiere), de modo que $f(x + k) = f(x)$ todos los $k$.

El período de $\sin()$ $2\pi$ como que no duda en aceptar. Vamos a tomar esto como un hecho.

$f(x) = \sin(2x)$ es una función diferente.

$f(x + \pi) = \sin (2(x+\pi)) = \sin (2x + 2\pi) = \sin (2x) = f(x)$. Por lo que el período de $f$ $\pi$ o menor. (No es menor. Si $f(x + k) = f(x)$ $\sin(2x + 2k) = \sin 2x$ por lo que el período de $\sin$ $2k$ o menor. Por lo $2k$ no es menor que $2\pi$.)

Su confusión radica en que usted piensa que está agregando $2\pi$ $2x$en el argumento de $\sin$ hace que el período de $2\pi$. Cierto; hace que el período de SENO(x) $2\pi$. Pero estamos pegando el $2\pi$ a $\sin ()$; no se nos pegue en $\sin (2x)$. Sólo se nos pegue $\pi$ en ...

... está bien, mira esto: $\sin (x)$ puede ser escrito como $\sin( [\backslash stick input here/])\backslash$ $\sin(2x)$ puede ser escrito como $\sin(2\times [\backslash stick input here/])$. Y $a + b$ puede ser escrito como $\text {a is the main thing} ---\text{ b is tacked on for the ride}$ o $a --tackon-- b$.

Por lo $\sin( [\backslash 2x/])\backslash = \sin( [\backslash 2x -tackon- 2\pi/])\backslash$. Por lo que el período es $2\pi$

Pero $\sin(2x [\backslash x -tackon- \pi/])=\sin(2x [\backslash x/]--tackon-- 2\pi)$

$= \sin([\backslash 2\times x/]--tackon-- 2\pi)=$

$\sin([\backslash 2\times x --tackon-- 2\pi/])=$

$\sin ([\backslash 2\times x /]) = \sin(2\times [\backslash x /])$.

Por lo que el período de $\sin(2\times [\backslash put input here /]$$\pi$.