Supongamos $p\in\mathbb{Z}$ es el primer y $p\equiv 1\pmod{3}$. Hay una estimación de la cantidad de soluciones de $x^3+y^3=z^3$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, preferentemente, a través de la primaria a la teoría de números y álgebra ? Puede algo ser dicho acerca de la "espera" ( en el sentido de la Teoría de la Probabilidad ) número de soluciones ? Estoy particularmente interesado en los grandes valores de $p$ y de técnicas elementales.
Respuesta
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Este problema en particular se discute en detalle en el Capítulo 7 de Puntos Racionales en Curvas Elípticas por Silverman y Tate.
Deje $p$ ser un número primo. Deje $M_p$ denotar el número de (proyectiva) soluciones a$x^3+y^3\equiv z^3 (\text{mod } p)$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Gauss demostró que si $p\equiv 1 (\text{mod } 3)$, entonces existen enteros $A$, e $B$ tal que $4p=A^2+27B^2$. Hasta firmar, $A$ $B$ son únicos. Además, si se corrige el signo de $A$ a ser positivo, entonces, en el hecho de $M_p = p+1+A$.
De hecho, el teorema nos dice exactamente el número de soluciones en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ a esta curva elíptica! Me parece que este resultado llamativo y hermoso.
La prueba dada en el libro es un poco largo, y utiliza una astuta manipulación de sumas de Gauss.
Observación. La última línea de Jyrki del comentario se refiere a un resultado interesante llamado Hasse del obligado. Tenga en cuenta que en el caso anterior, esta obligado se verifica: de hecho, $4p=A^2+27B^2$ implica $A^2\le 4p$, dándonos $A\le 2\sqrt{p}$. Yo recomiendo el libro ya mencionado por Silverman y Tate para la introducción a este tema y más allá.
