Adjunto del funtor de olvido entre la categoría de espacios vectoriales y la categoría de grupos abelianos

Question

Acabo de enterarme de la functor olvidadizo entre el categoría de espacios vectoriales y el categoría de grupos abelianos . Mapea un espacio vectorial a su grupo abeliano aditivo.

Mi pregunta es si hay una adjunto de este functor olvidadizo, y si es así, ¿cuál es?

Si consideráramos el functor olvidador entre la categoría de espacios vectoriales y la categoría de conjuntos que olvida toda estructura, creo que el functor adjunto tomaría un conjunto y crearía un genérico gratis espacio vectorial generado por los elementos del conjunto.

Sin embargo, si nos olvidamos sólo del nivel de un grupo abeliano, todavía se conserva alguna estructura adicional, así que no creo que sea tan sencillo. Por ejemplo, sólo mirando el grupo aditivo, sabes $v$ y $v+v$ están relacionados por la multiplicación escalar $v+v=2v$ . Del mismo modo, se podría deducir que las combinaciones racionales como $6v$ y $9v$ están relacionados a través de la multiplicación, ya que existiría un elemento $3v$ que puede añadirse a sí mismo varias veces para crear ambos. Por otro lado, sólo con mirar la estructura aditiva, creo que no hay manera de decir que $v$ y $\pi v$ estuvieron una vez relacionados ya que $\pi$ es irracional.

Answer 1

Si estás trabajando sobre el campo $k$ Creo que el functor $k \otimes_{\mathbb{Z}} -: \mathbf{Ab} \to \mathbf{Vect}_k$ debería funcionar.

Dejemos que $F$ sea el functor de olvido $\mathbf{Vect}_k \to \mathbf{Ab}$ , $A$ un grupo abeliano y $V$ un espacio vectorial sobre $k$ . Entonces, dado $f: A \to F(V)$ , defina $f': k \otimes_{\mathbb{Z}} A \to V$ al establecer $f'(s \otimes a) := s \cdot f(a)$ y extendiéndose de forma aditiva. Dado $g: k \otimes_{\mathbb{Z}} A \to V$ , defina $g^*:A \to F(V)$ al establecer $g^*(a) := g(1 \otimes a)$ . Se puede comprobar que las asignaciones $f \mapsto f'$ y $g \mapsto g^*$ son mutuamente inversos y, por tanto, dan biyecciones entre $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ab}}(A,F(V))$ y $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Vect}_k}(k \otimes_{\mathbb{Z}}A,V)$ .