¿Cuál es la definición de contracción tensora?

Question

De acuerdo a Wikipedia a la página de tensor de contracción:

En general, un tensor de tipo $(m,n)$ ( $m \geq 1$ $n \geq 1$ ) es un elemento del espacio vectorial $V \otimes \ldots \otimes V \otimes V^* \otimes \ldots \otimes V^*$ (donde hay $m$ $V$ factores y $n$ $V^*$ los factores). La aplicación de la natural vinculación a la $k$th $V$ factor y el $l$th $V^*$ factor, y el uso de la identidad en todos los otros factores, define el $(k,l)$ contracción de la operación, que es lineal en el mapa que se obtiene un tensor de tipo $(m-1, n-1)$.

Debo admitir, estoy teniendo problemas para entender esta definición. ¿Cual es el verdadero mapa? De lo que deduzco, el $(k,l)$ contracción de, digamos, $$T = X_1 \otimes \ldots \otimes X_m \otimes \omega^1 \otimes \ldots \otimes \omega^n$$ is $$C(T) = \omega^l(X_k)\cdot X_1 \otimes \ldots \otimes \widehat{X_k} \otimes \ldots \otimes X_m \otimes \omega^1 \otimes \ldots \otimes \widehat{\omega^l} \otimes \ldots \otimes \omega^n,$$ donde los sombreros indicar la omisión, y $C(T)$ es solo mi notación para la contracción.

Es esto correcto? Si esto es así, esto a menudo se toma como la definición o hay otro estándar (equivalente) definiciones?

Answer 1

Sí, esto es correcto, pero no creo que usted debe conseguir también se utiliza para la contratación de los índices que no son adyacentes. La mayoría de este formalismo es bastante general y, en particular, hay contextos en los que se han tensor de productos y duales, pero ya no hay simetría $X \otimes Y \to Y \otimes X$ o de la simetría es trivial en alguna forma, y cuando el contrato de índices que no son adyacentes en este contexto lo que están realmente haciendo es permuting algunos índices, la contratación de algunos índices, luego permuting algunos más los índices, y en general tienes que seguir la pista de lo que usted está permuting.

Para ser más precisos, en un trenzado de categoría monoidal se han distinguido isomorphisms $\gamma_{A, B} : A \otimes B \to B \otimes A$ pero no está garantizado que $\gamma_{A, B} \gamma_{B, A} = \text{id}$, e incluso al hacer esta afección $\gamma_{A, B}$ no necesariamente lo que es obvio. Por ejemplo, en la categoría de $\mathbb{Z}$-graduada de espacios vectoriales usted puede introducir el trenzado $a \otimes b \mapsto (-1)^{|a| |b|} b \otimes a$ donde $|a|, |b|$ se refiere a la clasificación. Si usted no mantiene un seguimiento de lo que las permutaciones que estás haciendo antes y después del contrato, podrá colocar un signo.

Answer 2

Sí, eso me parece correcto. Me temo que no puedo hablar con qué definiciones alternativas comunes son, sin embargo.