Estoy a punto de comenzar la universidad en octubre, para estudiar ciencias de la computación, y se han preguntado por mi universidad para completar un número de problema hojas. Me he atascado en la siguiente pregunta, y por lo tanto, agradecería cualquier ayuda posible.
Los números de $x$ $y$ están sujetos a las restricciones de $x+y=\pi$. Encontrar los valores de $x$ $y$ que $\cos x\sin y$ toma su valor mínimo.
El uso de esta pregunta como punto de partida hacia una solución, tengo los siguientes pasos intentado hasta ahora.
\begin{align*} \Lambda(x, y, \lambda)&=\cos x\sin y+\lambda(x+y-\pi)\\ \frac{\partial\Lambda}{\partial x}&=-\sin x\sin y+\lambda=0\\ \frac{\partial\Lambda}{\partial y}&=\cos x\cos y+\lambda=0\\ \frac{\partial\Lambda}{\partial\lambda}&=x+y-\pi=0\\ x&=\cos^{-1}\left(\frac{\lambda}{\sin y}\right)\\ y&=\cos^{-1}\left(\frac{-\lambda}{\cos x}\right)\\ \cos^{-1}\left(\frac{\lambda}{\sin y}\right)+\cos^{-1}\left(\frac{-\lambda}{\cos x}\right)&=\pi\\ \end{align*}
Por desgracia, las matemáticas más allá de mis habilidades, ya que sólo he estudiado Un Nivel de Matemáticas y Más de Matemáticas, y estoy trabajando a partir de la primera respuesta en la que se hace referencia la pregunta y los artículos de Wikipedia en Multiplicadores de Lagrange y derivadas Parciales. Estoy seguro de la correcta etiquetas para aplicar, por lo que cualquier ayuda también iba a ser maravilloso.
Edit: Después de recibir un número de sugerencias, esto es parte de mi solución, sin embargo, no estoy seguro sobre cómo correctamente la frase de la última parte de la pregunta con respecto a correctamente la solución de la desigualdad o expresar los valores de $y$. \begin{align*} \sin x\cos y&=\sin x\cos(\pi-x)\\ &=-\sin x\cos x\\ &=\sin x\cos x\\ &=\frac12\sin2x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac12\sin2x\right)&=\cos2x\\ \cos2x&=0\Rightarrow x=\frac12\left(n\pi-\frac\pi2\right),n\in\mathbb{Z}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos2x&=-2\sin2x\\ -2\sin2x>0&\Rightarrow\sin2x<0\\ \end{align*}
