Axiomas de la suma infinita en Tohoku

Question

En su Tohoku papel, sección 1.5, Grothendieck los estados los siguientes axiomas que un abelian categoría puede satisfacer:

AB4)Infinitas sumas de existir, y la suma directa de monomorphisms es un monomorphism.

AB5)Infinitas sumas de existir, y el y el si $A_i$ (índices en algunos posiblemente conjunto infinito $I$) es un filtrado de la familia de subconjuntos de un cierto objeto a en la categoría, y B otro subconjunto de a, entonces a $(\sum A_i)\cap B = \sum (A_i\cap B)$

(Un subconjunto es lo que yo estoy traduciendo sous-truc como significado... no estoy seguro de si este es el correcto inglés notación para este concepto.)

Grothendieck estados que AB5 es más fuerte que AB4, sin pruebas. No puedo probar yo mismo; puede que alguien me ilumine en cuanto a por qué esto es cierto?

Answer 1

Así que vamos a suponer que tenemos una familia de monomorphisms $A_i \to B_i$ donde $i$ varía a través de un conjunto de indexación $I$. Deje $A = \bigoplus_i A_i$$B = \bigoplus_i B_i$; queremos demostrar que las $A \to B$ es también un monomorphism. Deje $K$ ser el kernel, así que tenemos una secuencia exacta $$0 \longrightarrow K \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow 0$$ Deje $\mathcal{J}$ ser el sistema de todos los subconjuntos finitos de $I$: este es un filtrado poset, y si definimos $A_j = \bigoplus_{i \in j} A_i $ $B_j = \bigoplus_{i \in j} B_i$ para cada subconjunto finito $j$$I$, obtenemos un sistema de filtrado. En cualquier abelian categoría, dado un diagrama de $$\begin{alignedat}{3} 0 \longrightarrow \mathord{} & K_j & \mathord{} \longrightarrow \mathord{} & A_j & \mathord{} \longrightarrow \mathord{} & B_j \\ & \downarrow && \downarrow && \downarrow \\ 0 \longrightarrow \mathord{} & K & \mathord{} \longrightarrow \mathord{} & A & \mathord{} \longrightarrow \mathord{} & B \\ \end{alignedat}$$ si el extremo derecho de la flecha vertical es un monomorphism y dos filas son exactas, entonces el lado izquierdo de la plaza es un retroceso de la plaza; desde $A_j \to A$ es también un monomorphism, lo que equivale a decir que el $K_j = A_j \cap K$. Desde $j$ es un conjunto finito, $A_j \to B_j$ es automáticamente un monomorphism, por lo $K_j = 0$. Tomando el filtrado colimit $\mathcal{J}$, obtenemos $$\sum_j K_j = \left( \sum_j A_j \right) \cap K = A \cap K = K$$ por lo $K = 0$. Por lo tanto, $A \to B$ es un monomorphism.

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De hecho, AB5 es estrictamente más fuerte que AB4. Tome $\mathcal{A} = \textbf{Ab}^\textrm{op}$. El opuesto de un abelian categoría es un abelian categoría, y no es difícil mostrar que $\mathcal{A}$ satisface AB3 y AB4; pero $\mathcal{A}$ no satisface AB5. Este es el mismo ejemplo utilizado por Grothendieck en su papel.