Complejo simplicial abstracto de biyección

Question

Dados dos espacios compactos de Hausdorff $X$ y $Y$ y $h \colon X \to Y$ un homeomorfismo, ¿cómo puedo demostrar que $h_{\mathfrak{A}} : N(\mathfrak{A}) \to N(h(\mathfrak{A}))$ es una biyección donde $N(\mathfrak{A})$ y $N(h(\mathfrak{A}))$ son los nervios de las cubiertas $\mathfrak{A}$ y $h(\mathfrak{A})$ ?

[Edición: copiado de una pregunta duplicada complejo simplicial biyección la siguiente aclaración]

ps: Yo utilizo esta definición: Si $\mathfrak{A} = \{A_{i}\}_{i \in I}$ es una cobertura abierta de X, $ N(\mathfrak{A})$ es un complejo simplicial abstracto tal que: los vértices son los conjuntos abiertos de $\mathfrak{A}$ y una colección $\{A_{0}, A_{1}, \dots, A_{p}\}$ de tales vértices constituye un p-simplex si y sólo si $\bigcap_{i = 0}^p A_{i}$ no está vacío.

Answer 1

Utilizaré la definición de nervio de una cubierta abierta que usos de la wikipedia .

Supongamos que $\mathfrak{A}=\{U_\lambda\subset X\:|\:\lambda\in\Lambda\}$ es una cobertura abierta de $X$ y que $I\subset\Lambda$ estar en el nervio $N(\mathfrak{A})$ . Esto implica que $\bigcap_{\lambda\in I}U_\lambda\neq\emptyset$ . Utilizaremos el mismo conjunto de indexación $\Lambda$ para $N(h(\mathfrak{A}))$ por lo que sólo tenemos que demostrar que los nervios $N(\mathfrak{A})$ y $N(h(\mathfrak{A}))$ son iguales (y por tanto el mapa $h_{\mathfrak{A}}$ es el mapa de identidad que es claramente una biyección).

Para demostrar que $I\in N(h(\mathfrak{A}))$ sólo tenemos que demostrar que $\bigcap_{\lambda\in I}h(U_\lambda)\neq\emptyset$ . Esto está claro porque si $x\in\bigcap_{\lambda\in I}U_\lambda$ entonces para todos $\lambda\in I$ , $x\in U_\lambda$ y así para todos $\lambda\in I$ también tenemos $h(x)\in h(U_{\lambda})$ por lo que $h(x)\in\bigcap_{\lambda\in I}h(U_\lambda)$ y así $\bigcap_{\lambda\in I}h(U_\lambda)\neq\emptyset$ . De ello se desprende que $I\in N(h(\mathfrak{A}))$ y así $N(\mathfrak{A})\subseteq N(h(\mathfrak{A}))$ .

Podemos seguir este argumento de nuevo pero utilizando $h^{-1}$ (que existe porque $h$ es un homeomorfismo) en lugar de $h$ para conseguir $N(\mathfrak{A})\supseteq N(h(\mathfrak{A}))$ y así $N(\mathfrak{A})= N(h(\mathfrak{A}))$ .