Este es el problema que se relaciona con toda una clase de problemas para los que estoy tratando de encontrar una solución general.
Dados dos jugadores 1 y 2 que pueden seleccionar un número del intervalo $[0, 1]$ , definen los pagos de un juego de la siguiente manera:
$\frac{s_i+s_j}{2}$ para $i<j$ , $1-\frac{s_i+s_j}{2}$ para $i>j$ y $\frac{1}{2}$ a cada jugador cuando $s_i=s_j$ .
Así que el objetivo es encontrar esa combinación de $s_i$ y $s_j$ que ambos sean la mejor respuesta para el otro, es decir, que no haya una desviación rentable para ninguno de los dos jugadores. He considerado varios casos, por ejemplo si $s_i<s_j$ siempre hay una desviación rentable para el jugador $i$ donde puede elegir un número mayor siempre que sea arbitrariamente menor que $s_j$ .
Simétricamente, el mismo argumento se aplica cuando $s_i>s_j$ . Entonces el jugador $j$ puede seleccionar un número arbitrariamente menor que $s_i$ y, por lo tanto, aumenta su recompensa. Eso nos deja sólo la posibilidad de $s_i=s_j$ para investigar, e incluso entonces sólo conseguí encontrar un conjunto de respuestas ( $\frac{1}{2}$ para cada uno) que da lugar a un equilibrio de Nash.
En caso contrario, digamos que ambos jugadores eligen $0.4$ . Entonces, cualquier jugador que elija $0.5$ en respuesta obtendrá un beneficio de $1-\frac{.9}{2}$ superando los beneficios de $\frac{1}{2}$ Por lo tanto, hay una desviación rentable.
La pregunta que tengo es cómo puedo demostrar matemáticamente que ( $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ ) es el único equilibrio de Nash (¿o hay más?). Conseguí encontrar esos números por inspección, y realmente me gustaría una forma más rigurosa de hacerlo ya que se aplicaría a todos los problemas similares.