5 votos

Encontrar algebraicamente un equilibrio de Nash

Este es el problema que se relaciona con toda una clase de problemas para los que estoy tratando de encontrar una solución general.

Dados dos jugadores 1 y 2 que pueden seleccionar un número del intervalo $[0, 1]$ , definen los pagos de un juego de la siguiente manera:

$\frac{s_i+s_j}{2}$ para $i<j$ , $1-\frac{s_i+s_j}{2}$ para $i>j$ y $\frac{1}{2}$ a cada jugador cuando $s_i=s_j$ .

Así que el objetivo es encontrar esa combinación de $s_i$ y $s_j$ que ambos sean la mejor respuesta para el otro, es decir, que no haya una desviación rentable para ninguno de los dos jugadores. He considerado varios casos, por ejemplo si $s_i<s_j$ siempre hay una desviación rentable para el jugador $i$ donde puede elegir un número mayor siempre que sea arbitrariamente menor que $s_j$ .

Simétricamente, el mismo argumento se aplica cuando $s_i>s_j$ . Entonces el jugador $j$ puede seleccionar un número arbitrariamente menor que $s_i$ y, por lo tanto, aumenta su recompensa. Eso nos deja sólo la posibilidad de $s_i=s_j$ para investigar, e incluso entonces sólo conseguí encontrar un conjunto de respuestas ( $\frac{1}{2}$ para cada uno) que da lugar a un equilibrio de Nash.

En caso contrario, digamos que ambos jugadores eligen $0.4$ . Entonces, cualquier jugador que elija $0.5$ en respuesta obtendrá un beneficio de $1-\frac{.9}{2}$ superando los beneficios de $\frac{1}{2}$ Por lo tanto, hay una desviación rentable.

La pregunta que tengo es cómo puedo demostrar matemáticamente que ( $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ ) es el único equilibrio de Nash (¿o hay más?). Conseguí encontrar esos números por inspección, y realmente me gustaría una forma más rigurosa de hacerlo ya que se aplicaría a todos los problemas similares.

4voto

Lazer Puntos 3926

Este no es mi campo, pero la forma en que lo entiendo es que la expansión implica estados no ligados. No afecta a los estados ligados. Por ejemplo los protones, ligados por la interacción fuerte, una vez generados, durante la expansión y desacoplado, es decir, el plasma de quarks y gluones ha dejado de existir, siguen siendo protones con las dimensiones que conocemos. Incorporando la pregunta de tu comentario:

¿Existe una respuesta sobre si la fuerza cosmológica o atómica era mayor inicialmente?

Supongo que por "fuerza cosmológica" te refieres al efecto de la expansión cosmológica, a las limitaciones cosmológicas.. En el modelo actual del universo la energía está contenida en él en un volumen progresivamente mayor, donde las partículas aparecen en una sopa que interactúa y termodinámicamente la energía disponible por partícula es muy grande, formando un plasma de quark-gluones.

A medida que la expansión progresa localmente la restricción cosmológica se hace más pequeña que la fuerza fuerte ( en el caso de los protones que aparecen) y por lo tanto ya no hay una disolución y recreación de protones a partir de la sopa de energía del Big Bang, en este caso el plasma de quarks y gluones que debe existir antes de que los protones puedan aparecer. Los átomos y las moléculas están igualmente unidos por la fuerza electromagnética.

Lo mismo ocurre con las galaxias, que son un estado ligado gravitacionalmente y se separan entre sí debido a la expansión, pero permanecen unidas internamente.

El efecto del potencial dispersivo extra efectivo de la expansión en la unión de la materia es muy muy pequeño.

Sin embargo, el único efecto localmente visible de la expansión acelerada es la desaparición (por corrimiento al rojo) de galaxias lejanas; los objetos ligados gravitatoriamente, como la Vía Láctea, no se expanden.

Los fotones (y los neutrinos) no son estados ligados, y por tanto siguen la expansión del espacio cambiando su longitud de onda debido a ella. Hay que tener siempre en cuenta que esta expansión se produce localmente en cada punto del espacio-tiempo que definimos como espacio-tiempo para los estudios habituales de física.

Este es un campo que se sigue investigando pero este modelo parece ajustarse a las observaciones realizadas hasta ahora.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X