Incluso hay un pointwise versión de el resultado. Yo denotar la topología de un espacio de Xτ(X).
Para y∈N vamos
N(y)={U∈τ(N):y∈U},By={f−1[U]:y∈U∈τ(N)}, andVy={V∈τ(M):f−1[{y}]⊆V},
y deje Fy ser el filtro en M generado por By; la demanda es que f es cerrado iff para cada y∈N, Vy⊆Fy.
Definición: La función de f es cerrado en y∈N fib para cada cerrado K⊆M, y∈clf[K] iff y∈f[K].
La proposición: Vamos a y∈N; a continuación, f es cerrado en y fib Vy⊆Fy.
Prueba: Supongamos que Vy⊈, y corregir V\in\mathscr{V}_y\setminus\mathscr{F}_y. Vamos K=M\setminus V; K es cerrado, y K\cap f^{-1}[\{y\}]=\varnothing, lo y\notin f[K]. Desde V\notin\mathscr{F}_y, para cada una de las U\in\mathscr{N}(y) hay un punto de x_U\in f^{-1}[U]\setminus V=K\cap f^{-1}[U]; claramente f(x_U)\in U\cap f[K], lo y\in\operatorname{cl}f[K], y por lo tanto f[K] no está cerrado.
Por el contrario, supongamos que y\in\operatorname{cl}f[K]\setminus f[K] para algunos cerró K\subseteq M. Deje V=M\setminus K; claramente V\in\mathscr{V}_y. Supongamos que U\in\mathscr{N}(y); y\in\operatorname{cl}f[K], por lo U\cap f[K]\ne\varnothing, y por lo tanto f^{-1}[U]\setminus V=f^{-1}[U]\cap K\ne\varnothing\;. Thus, V\noen\mathscr{F}_y, and hence \mathscr{V}_y\nsubseteq\mathscr{F}_y. \dashv