$f$ closed iff$y\in N$ y abierto$V\supset f^{-1}\left(\{y\}\right)$ exists$U$ abierto tal que$V\supset f^{-1}(U)\supset f^{-1}(\left\{y\right\})$

Question

Probar que$f\colon M\to N$ (espacios topológicos) se cierra si y sólo si para todos$y\in N$ y todos los conjuntos abiertos$V\supset f^{-1}\left(\{y\}\right)$ in$M$ existe un conjunto abierto$U$ in $N$ que contiene$y$ tal que$V\supset f^{-1}(U)\supset f^{-1}(\left\{y\right\})$.

No puedo probarlo de ninguna manera. Lo intenté durante 3 días.

Answer 1

Pude obtener una dirección:

Corregir algunos$y\in N$. Tenga en cuenta que$V\supseteq f^{-1}(U)\supseteq f^{-1}(\{y\})$ si y solo si$$V^c\subseteq f^{-1}(U)^c= f^{-1}(U^c)\subseteq f^{-1}(\{y\})^c.$ $ Si$f$ se cierra, entonces para cualquier conjunto cerrado$C\subseteq M$ disjoint de$f^{-1}(\{y\})$ #% es un conjunto cerrado disjunto de$D=f(C)$, y$\{y\}$$$C\subseteq f^{-1}(f(C))=f^{-1}(D)\subseteq f^{-1}(\{y\})^c.$ V = C ^ c% % N$ Then $ #% C$ and $ M$ are open subsets of $ f ^ {- 1} 1} (\ {y \}) $.

Answer 2

$(\Rightarrow)$ Zev Chonoles ya ha dado esta dirección. Puedo ofrecer a los demás.

$(\Leftarrow)$ Supongamos $C \subset M$ es cerrado. Queremos mostrar a $f(C)$ es cerrado en $N$. Supongamos $y$ es un punto límite de $f(C)$. En primer lugar, usted quiere demostrar que $f^{-1}(\{y\}) \neq \emptyset$. Supongamos $f^{-1}(\{y\}) = \emptyset$. A continuación, vamos a $V = \emptyset$. Entonces para cualquier $U \subset N$ contiene $y$, ya que el $y$ es un punto límite de $f(C)$, $U$ debe contener un punto de $C$. Por lo $f^{-}(U) \neq \emptyset$. Contradicción. Es imposible que $V = \emptyset \supset f^{-1}(U) \supset f^{-1}(\{y\}) = \emptyset$. Me han demostrado hasta ahora que $f^{-1}(\{y\}) \neq \emptyset$.

Ahora yo reclamo es que al menos un punto en $f^{-1}(y)$ es un punto límite de $C$. Supongamos que no, entonces todos los $x \in f^{-1}(y)$ ha vecindario $B_x$ tal que $B_x \cap C = \emptyset$. Vamos $V = \bigcup_{x \in f^{-1}(y)}B_x$. $V$ es un barrio de $f^{-1}(y)$ tal que $V \cap C = \emptyset$. Para cada $U \subset N$ contiene $y$, $U$ contiene un punto de $C$ desde $y \in U$ es un punto límite de $f(C)$. Por lo $f^{-1}(U) \cap C \neq \emptyset$, por lo que es imposible que $V \supset f^{-1}(U) \supset f^{-1}(\{y\})$. Así que me han demostrado que al menos un punto de $z \in f^{-1}(y)$ es un punto límite de $C$. Desde $C$ es cerrado, $z \in C$. Por lo $f(z) = y$. Así $y \in f(C)$. $f(C)$ contiene toda su límite de puntos. Así que está cerrado. $f$ es un cerrado mapa.

Answer 3

Incluso hay un pointwise versión de el resultado. Yo denotar la topología de un espacio de $X$$\tau(X)$.

Para $y\in N$ vamos

$$\begin{align*} \mathscr{N}(y)&=\{U\in\tau(N):y\in U\},\\ \mathscr{B}_y&=\{f^{-1}[U]:y\in U\in\tau(N)\},\text{ and}\\ \mathscr{V}_y&=\{V\in\tau(M):f^{-1}[\{y\}]\subseteq V\}\;, \end{align*}$$

y deje $\mathscr{F}_y$ ser el filtro en $M$ generado por $\mathscr{B}_y$; la demanda es que $f$ es cerrado iff para cada $y\in N$, $\mathscr{V}_y\subseteq\mathscr{F}_y$.

Definición: La función de $f$ es cerrado en $y\in N$ fib para cada cerrado $K\subseteq M$, $y\in\operatorname{cl}f[K]$ iff $y\in f[K]$.

La proposición: Vamos a $y\in N$; a continuación, $f$ es cerrado en $y$ fib $\mathscr{V}_y\subseteq\mathscr{F}_y$.

Prueba: Supongamos que $\mathscr{V}_y\nsubseteq\mathscr{F}_y$, y corregir $V\in\mathscr{V}_y\setminus\mathscr{F}_y$. Vamos $K=M\setminus V$; $K$ es cerrado, y $K\cap f^{-1}[\{y\}]=\varnothing$, lo $y\notin f[K]$. Desde $V\notin\mathscr{F}_y$, para cada una de las $U\in\mathscr{N}(y)$ hay un punto de $x_U\in f^{-1}[U]\setminus V=K\cap f^{-1}[U]$; claramente $f(x_U)\in U\cap f[K]$, lo $y\in\operatorname{cl}f[K]$, y por lo tanto $f[K]$ no está cerrado.

Por el contrario, supongamos que $y\in\operatorname{cl}f[K]\setminus f[K]$ para algunos cerró $K\subseteq M$. Deje $V=M\setminus K$; claramente $V\in\mathscr{V}_y$. Supongamos que $U\in\mathscr{N}(y)$; $y\in\operatorname{cl}f[K]$, por lo $U\cap f[K]\ne\varnothing$, y por lo tanto $$f^{-1}[U]\setminus V=f^{-1}[U]\cap K\ne\varnothing\;.$$ Thus, $V\noen\mathscr{F}_y$, and hence $\mathscr{V}_y\nsubseteq\mathscr{F}_y$. $\dashv$

Answer 4

Creo que tengo la otra dirección usando la misma idea que Zev Chonoles ♦:

Deje$F\subset M$ un subconjunto cerrado. Deje que$y\in f[F]^c$ entonces$$f^{-1}[\{y\}]\subset f^{-1}[f[F]^c]=f^{-1}[f[F]]^c\subset F^c,$ $ en particular$f^{-1}[\{y\}]\subset F^c$ donde$F^c$ está abierto. Por lo tanto existe un$U$%% que contiene$y$ tal que$$f^{-1}[U]\subset F^c\implies F\subset f^{-1}[U^c]$ $ por lo tanto$$f[F]\subset f[f^{-1}[U^c]]\subset U^c,$ #% está cerrado.