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5 votos

f closed iffyN y abiertoVf1({y}) existsU abierto tal queVf1(U)f1({y})

Probar quef:MN (espacios topológicos) se cierra si y sólo si para todosyN y todos los conjuntos abiertosVf1({y}) inM existe un conjunto abiertoU in N que contieney tal queVf1(U)f1({y}).

No puedo probarlo de ninguna manera. Lo intenté durante 3 días.

4voto

Xenph Yan Puntos 20883

Pude obtener una dirección:

Corregir algunosyN. Tenga en cuenta queVf1(U)f1({y}) si y solo siV^c\subseteq f^{-1}(U)^c= f^{-1}(U^c)\subseteq f^{-1}(\{y\})^c.$ $ Si$f$ se cierra, entonces para cualquier conjunto cerrado$C\subseteq M$ disjoint de$f^{-1}(\{y\})$ #% es un conjunto cerrado disjunto de$D=f(C)$, y$\{y\}Cf1(f(C))=f1(D)f1({y})c. V = C ^ c% % NThen #% Cand Mareopensubsetsof f ^ {- 1} 1} (\ {y \}) $.

2voto

iturki Puntos 106

() Zev Chonoles ya ha dado esta dirección. Puedo ofrecer a los demás.

() Supongamos CM es cerrado. Queremos mostrar a f(C) es cerrado en N. Supongamos y es un punto límite de f(C). En primer lugar, usted quiere demostrar que f1({y}). Supongamos f1({y})=. A continuación, vamos a V=. Entonces para cualquier UN contiene y, ya que el y es un punto límite de f(C), U debe contener un punto de C. Por lo f(U). Contradicción. Es imposible que V=f1(U)f1({y})=. Me han demostrado hasta ahora que f1({y}).

Ahora yo reclamo es que al menos un punto en f1(y) es un punto límite de C. Supongamos que no, entonces todos los xf1(y) ha vecindario Bx tal que BxC=. Vamos V=xf1(y)Bx. V es un barrio de f1(y) tal que VC=. Para cada UN contiene y, U contiene un punto de C desde yU es un punto límite de f(C). Por lo f1(U)C, por lo que es imposible que Vf1(U)f1({y}). Así que me han demostrado que al menos un punto de zf1(y) es un punto límite de C. Desde C es cerrado, zC. Por lo f(z)=y. Así yf(C). f(C) contiene toda su límite de puntos. Así que está cerrado. f es un cerrado mapa.

2voto

DiGi Puntos 1925

Incluso hay un pointwise versión de el resultado. Yo denotar la topología de un espacio de Xτ(X).

Para yN vamos

N(y)={Uτ(N):yU},By={f1[U]:yUτ(N)}, andVy={Vτ(M):f1[{y}]V},

y deje Fy ser el filtro en M generado por By; la demanda es que f es cerrado iff para cada yN, VyFy.

Definición: La función de f es cerrado en yN fib para cada cerrado KM, yclf[K] iff yf[K].

La proposición: Vamos a yN; a continuación, f es cerrado en y fib VyFy.

Prueba: Supongamos que Vy, y corregir V\in\mathscr{V}_y\setminus\mathscr{F}_y. Vamos K=M\setminus V; K es cerrado, y K\cap f^{-1}[\{y\}]=\varnothing, lo y\notin f[K]. Desde V\notin\mathscr{F}_y, para cada una de las U\in\mathscr{N}(y) hay un punto de x_U\in f^{-1}[U]\setminus V=K\cap f^{-1}[U]; claramente f(x_U)\in U\cap f[K], lo y\in\operatorname{cl}f[K], y por lo tanto f[K] no está cerrado.

Por el contrario, supongamos que y\in\operatorname{cl}f[K]\setminus f[K] para algunos cerró K\subseteq M. Deje V=M\setminus K; claramente V\in\mathscr{V}_y. Supongamos que U\in\mathscr{N}(y); y\in\operatorname{cl}f[K], por lo U\cap f[K]\ne\varnothing, y por lo tanto f^{-1}[U]\setminus V=f^{-1}[U]\cap K\ne\varnothing\;. Thus, V\noen\mathscr{F}_y, and hence \mathscr{V}_y\nsubseteq\mathscr{F}_y. \dashv

0voto

Ray Salem Puntos 7

Creo que tengo la otra dirección usando la misma idea que Zev Chonoles ♦:

DejeF\subset M un subconjunto cerrado. Deje quey\in f[F]^c entoncesf^{-1}[\{y\}]\subset f^{-1}[f[F]^c]=f^{-1}[f[F]]^c\subset F^c,$ $ en particular$f^{-1}[\{y\}]\subset F^c$ donde$F^c$ está abierto. Por lo tanto existe un$U$%% que contiene$y$ tal quef^{-1}[U]\subset F^c\implies F\subset f^{-1}[U^c] por lo tanto$$f[F]\subset f[f^{-1}[U^c]]\subset U^c,$ #% está cerrado.

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