Descripción de automorphic representaciones para $SL(2)/{\mathbf{Q}}$?

Question

En resumen: ¿qué Labesse-Langlands decir?

Un poco más preciso: ¿cuáles son los cuspidal automorphic representaciones de $SL_2(\mathbf{A}_{\mathbf{Q}})$, junto con multiplicidades? Digamos que tengo una lista completa de los cuspidal automorphic representaciones de $GL_2/\mathbf{Q}$ y quiero tratar de deducir lo que está sucediendo para $SL_2$. Estoy buscando "ejemplos concretos de los fenómenos que se producen".

Ahora te voy a mostrar mi ignorancia más completa. Mi comprensión de intentar leer Labesse-Langlands es la siguiente. El local de la historia se ve algo como esto: si $\pi$ es un buen irreductible admisible representación de $GL(2,\mathbf{Q}{}_p)$, a continuación, su restricción a $SL(2,\mathbf{Q}{}_p)$ es irreducible, o divisiones como una suma directa de 2 no isomorfos de las representaciones, o, en ocasiones, como una suma directa de 4. Un caso interesante es el unramified principal de la serie con Satake parámetro $X^2+c$ cualquier $c$; este se divide en dos piezas (si he entendido bien) (y, además, estos son los únicos unramified principal de la serie que no permanecen irreductibles en virtud de la restricción). Hace precisamente una de estas piezas tienen un $SL(2,\mathbf{Z}{}_p)$-vector fijo? Y el otro tiene un vector fijo para el otro hyperspecial max compact (más precisamente, por un hyperspecial en el otro conj clase)? Tengo este derecho?

Paquetes: Local $L$-los paquetes son precisamente los J-H factores de $SL(2,\mathbf{Q}{}_p)$ mostrando en un irreductible $GL(2,\mathbf{Q}{}_p)$-representación. Por lo que tienen de tamaño 1, 2, o 4.

Ahora todo el mundo. global $L$paquetes-es un producto restringido de locales $L$-paquetes (todos a excepción de un número finito de componentes es mejor tener un invariante vectorial bajo nuestro fija hyperspecial max compact viene de un mundial de modelo integral). Tenga en cuenta que global automorphic $L$-paquetes pueden ser infinito (porque $a_p$ puede ser 0 para infinidad de $p$ en el de forma modular caso). Mi entendimiento es que es generalmente el caso de que uno de los elementos de un mundial de $L$-paquete de automorphic si y sólo si todos ellos son, y en este caso, de nuevo, por lo general, cada uno se muestra en la automorphic formas con la misma multiplicidad. ¿Qué es esta multiplicidad? Qué dependen?

Finalmente, mi entendimiento es que el principio anterior (multiplicidades todos en igualdad de condiciones, falla precisamente al $\pi$ es inducida a partir de un grossencharacter en una ecuación cuadrática de la extensión de $\mathbf{Q}$. En este caso parece ser que los términos de error en [LL]. Puede alguien explicar un ejemplo claro donde se puede decir precisamente que los elementos del paquete automorphic, y lo que las multiplicidades que lo que el automorphic representaciones se producen en el espacio de la cúspide de las formas?

Me parece que es muy difícil la lectura de los papeles de Langlands. Mi instinto me dice que normalmente sería prensa y en la de intentar algunos ejemplos de mí mismo (que es sin duda lo que voy a hacer de todos modos), pero pensé en preguntarle primero aquí para ver lo que sucede (lo sé por experiencia, que hay un no-cero posibilidad de que alguien me apunte a un sitio web que contiene 10 conferencias sobre Labesse-Langlands...)

Edit: supongo que no hay ninguna razón por qué no debería reemplazar "cuspidal" por "se encuentra en el discretos de la serie" con el de arriba (en el sentido de que las preguntas a continuación, todavía parece tener sentido, aún entiendo todo (en algún sentido) por $GL_2$ y todavía no sé las respuestas para $SL_2$)

Answer 1

Advertencia: no es un experto, por lo que podrían ser los principales errores de este.

La multiplicidad es de uno por cada elemento en el mundial de paquetes, en la no-CM caso. En la CM caso, la mitad de los paquetes tiene multiplicidad uno y la otra mitad tiene multiplicidad de cero.

Para la historia general, te sugiero mirar a Arthur conjeturas, que al menos conjecturally dar una imagen muy bonita. En general se debe hablar de Arthur paquetes, no Langlands paquetes. Coinciden en su caso.

Para el CM representaciones en $SL_2$, el global asociado parámetro tiene diedro de la imagen dentro de $PGL_2(\mathbb{C})$. Su centralizador $S$ tiene el tamaño de $2$. Según Arthur, la obstrucción a un elemento de la global paquete que se está automorphic es valorado en la doble vertiente de la $S$; por lo tanto, "la mitad" es automorphic. Más precisamente, el conjunto de representaciones irreducibles en un mundial de $L$paquete es el principal espacio homogéneo para un determinado producto de $Z/2Z$s (en la forma obvia: una $Z/2Z$ por cada $p$ donde $a_p = 0$; para simplificar, supongamos que el local multiplicidad $4$ no ocurre). El automorphic cuáles corresponden exactamente a una de las fibras de la suma de mapa para Z/2Z. Por lo tanto, si usted toma un automorphic representación en este paquete, y ponerlo en un lugar a otro elemento de la local de paquetes, no se automorphic más.

Concretamente: Iniciar con $\Pi$ un automorphic representación de $GL_2$, mapas por la restricción para el espacio de automorphic formas para $SL_2$. Las observaciones anteriores sugieren que este mapa de restricción deben tener un enorme núcleo de al $\Pi$ es CM. Pero uno casi puede ver esto por la mano: $\Pi$ es isomorfo a su giro por cierto cuadrática carácter $\omega$. Esto, y la multiplicidad uno para $GL_2$, significa que, para $f \in \Pi$, la función de $g \mapsto f(g) \omega(\det g)$ también pertenece a $\Pi$. Esto obliga extra de fuga, aunque yo no trabajo fuera de los detalles: Por ejemplo, si $\omega$ está en todas partes unramified y $f$ el esférico vector, a continuación, $f(g) \omega (\det g)$ debe ser proporcional a $f$, lo $f$ se desvanece cuando $\omega(\det g)$ no $1$, es decir, varios se traduce de $f$ desaparecen cuando se limita a $SL_2$.

La observación/advertencia: Si usted se refiere a la multiplicidad, no es otra totalmente distinta fenómeno que causa el error para $\mathrm{SL}_n, n \geq 3$: Dos no conjugada homomorphisms de un grupo finito en $\mathrm{PGL}_n$ puede ser conjugado de elemento por elemento. Hay un papel de Blasius acerca de esto. No tiene nada que hacer con los paquetes.

Answer 2

La multiplicidad de cualquier cúspide de la forma en que el espectro es uno de ellos; esto se deduce de los análisis en LL y los resultados probados en Ramakrishnan en papel de "la Modularidad de la Rankin-Selberg de la serie L y la multiplicidad uno para SL2," en el vol. 152 de los Anales. Sin embargo, esto ciertamente no responde a la más sutil pregunta acerca de L-paquetes.