Kirchhoffs como se describe por homología

Question

Me preguntaba cuál es la relación entre las leyes de Kirchhoff y la homología simplicial. La ley de voltaje indica que$\sum V = 0$ alrededor de un bucle, y la ley actual que$\sum I = 0$ alrededor de un vértice, por lo que parece que la ley de voltaje se describe como una declaración sobre 1-cadenas y corriente alrededor de 0-cochains ?

La pregunta es: ¿cómo exactamente describiría estas leyes en términos de los operadores fronterizos y cobiliarios,$\partial$ y$\delta$?

Answer 1

Sea$G$ su gráfico.

Creo que las declaraciones que estás buscando son:

• $V$ es un$1$ - cofronario (con valores reales); es decir, es un$1$ - cochain que puede expresarse como$V = \delta U$ para algunos$0$ - cochain$U$. (esto no es una traducción literal, por supuesto, sino una consecuencia, creo que algo como$V$ que representa la clase cero en$H^1(G; \mathbb{R})$ está más cerca)
• $I$ es un$1$ - ciclo; es decir, un$1$ - cadena (con coeficientes reales) tal que$\partial I = 0$.