La búsqueda de la siguiente integral.

Question

• $f$ es función continua $\forall x\in[0,a]$ $(a>0)$
• $f(x)+f(a-x)\neq 0$ $\forall x\in[0,a]$
  Encontrar la siguiente integral: $$ \int^a_0\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx$$
  Así que estoy pensando:
  $y:=a-x$, luego $$ \int^a_0\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx=\int^a_0\frac{f(a-y)}{f(a-y)+f(y)}d(a-y)=\int^a_0\frac{f(a-y)+f(y)-f(y)}{f(a-y)+f(y)}d(a-y)=\int^a_0\frac{f(a-y)+f(y)}{f(a-y)+f(y)}d(a-y)-\int^a_0\frac{f(y)}{f(a-y)+f(y)}d(a-y)= (1)$$ Ahora echemos $d(a-y)=-dy$ $$(1)=-\int^a_01dy+\int^a_0\frac{f(y)}{f(a-y)+f(y)}d(y)=-(y)\bigg|^a_0+\int^a_0\frac{f(y)}{f(a-y)+f(y)}d(y)=(2)$$ Ahora, debo reemplazar $y=a-x$ y obtener $$ (2)=-a - \int^a_0\frac{f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}dx$$
  Y, finalmente, combinar la primera y la última ecuación? O ¿cómo debe actuar? Estoy atascado con la última parte. ¿Cómo debo terminarlo?

Answer 1

sugerencia

Deje $I_1$ ser la primera integral.

por la sustitución de $x=a-t $, se convierte en $I_2$.

$$I_1=-\int_a^0\frac {f (a-t)}{f (a-t)+f (t)}dt=I_2$$

Observar que

$$I_1+I_2=2I_1=a $$

Answer 2

$I=\int^a_0\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx=\int^a_0\frac{f(x)+f(a-x)-f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}dx$

$\int^a_0\frac{f(x)+f(a-x)-f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}dx=\int^a_0dx-\int^a_0\frac{f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}dx$

$\int^a_0dx+\int^0_a\frac{f(z)}{f(a-z)+f(z)}dz=a-\int^a_0\frac{f(z)}{f(a-z)+f(z)}dz=a-I$

$2I=a$