Tengo algunas preguntas.
Esperemos que se pueda responder a esta pregunta de forma que no se vaya demasiado por las ramas. ¡Sólo quiero visualizar las cosas!
EDIT: Quiero fotos.
Visualicemos los fragmentos $\mathbf Z_p$ y $\mathbf F_p[[t]]$ en su lugar, ya que son compactos, y se centran sólo en su estructura como grupos topológicos abelianos. Entonces la figura de la izquierda es $\mathbf Z_3$ y la figura de la derecha es $\mathbf F_3[[t]]$ :
Como se puede ver, son homeomórficos como espacios topológicos, pero no cuando se incluye la estructura de grupo. La mayor regularidad visual en la figura de la derecha está causada por la torsión en $\mathbf F_3[[t]]$ : no importa cómo se barajee, realizando la misma operación $3$ veces te devuelve la identidad. Por el contrario, la operación de suma en $\mathbf Z_3$ es lo suficientemente retorcido como para evitarlo. Si giras el nivel $1$ bolas tres veces, equivale a una rotación del nivel $2$ bolas, etc. Esto es sólo una forma elegante de observar que en la base tres, $1_3+1_3+1_3=10_3$ .
Aquí está la justificación matemática de mi saludo. Cada grupo $G$ se visualiza mediante una incrustación $i:G\to\mathbb R^2$ de tal manera que la estructura de grupo en $G$ se respeta al máximo por la estructura diferenciable en $\mathbb R^2$ . En concreto, existe un subgrupo denso $H<G$ tal que para todo $x\in H$ el mapa de adición $\sigma_x: G\to G, \sigma_x(y)=x+y$ se extiende a un mapa diferenciable en una vecindad de la imagen $i(G)$ . Este requisito es suficiente para obligar a los dos grupos a incrustarse en subconjuntos disímiles de $\mathbb R^2$ .
En concreto, la incrustación de la izquierda es la incrustación de Chistyakov, $i(x)=\sum_{n=1}^\infty s^n \exp(2\pi i x/3^n)$ con un factor de escala adecuado $0<s<1$ . Algunas discusiones adicionales, con enlaces a la literatura ( DOI:10.1007/BF02073866 ), está en esta descripción de la imagen de Wikimedia . La incrustación de la derecha es sólo la habitual $i(\sum_{n=0}^\infty a_n t^n)=\sum_{n=0}^\infty s^n \exp(2\pi i a_n/3)$ .
(A veces verá que se utiliza algo parecido a la figura de la derecha para visualizar $\mathbf Z_3$ en su lugar. Sólo hay que tener en cuenta que, aunque es una buena visualización de la estructura topológica, hace violencia a la estructura de grupo).
Tengo la intención de publicar un artículo que explique la diferencia entre estas incrustaciones con más detalle, incluyendo la condición de diferenciabilidad... algún día. Por ahora, ¡disfruta de las imágenes!
¿Cómo se ha trazado el gráfico? ¿Qué software es el adecuado? ¿Puedo calcular a través de Matlab?
@M.A.SARKAR Lamentablemente, no estoy seguro de cómo producir ilustraciones similares utilizando software comúnmente disponible, como Matlab. Mis ilustraciones fueron creadas por C++ escrito a mano que produce un SVG.
Se ha puesto en contacto conmigo directamente, quizá adivinando (correctamente) que se me escapó esta pregunta. Antes de explicar mi falta de imagen general para el $p$ -adics y los anillos $\Bbb F_q[[t]]$ En cuanto a la imagen, tal vez debería señalar una imagen comúnmente dibujada que ninguno de los demás encuestados ha mencionado.
Es la descripción gráfico-teórica de $\Bbb Z_p$ con una fácil extensión a una descripción de $\Bbb Q_p$ . Me temo que me da pereza hacer una foto, necesariamente parcial, del gráfico. Así que tendrás que dibujarlo en tu mente. Empieza con la raíz del gráfico, un solo vértice, arriba, nivel $0$ . Luego, en el nivel $1$ Un nivel más abajo, dibujar $p$ vértices, todos conectados a la raíz. Ahora, desde cada uno de estos $p$ vértices, dibujar $p$ bordes que bajan a $p$ más vértices, dándole $p^2$ vértices en el nivel $2$ , $p^2$ vértices en total. Y continuar infinitamente.
El $p$ -números arcaicos, elementos de $\Bbb Z_p$ son los termina de este gráfico. Es decir, cada camino que va desde la raíz en el nivel $0$ que va hasta abajo, te da una $p$ -número de identificación. Para dos elementos diferentes, digamos $u,w\in\Bbb Z_p$ es decir, dos extremos diferentes de la gráfica, se obtiene el $p$ -distancia entre ellos viendo hasta dónde hay que subir en el gráfico antes de empezar a bajar hasta el otro extremo. Si necesitas ir al nivel $2$ por ejemplo, entonces $v_p(u-w)=2$ En otras palabras $|u-w|_p=1/p^2$ .
Te dije en mi correo privado que realmente no tengo una imagen. Sí pienso en el "disco unitario abierto" en el cierre algebraico de $\Bbb Q_p$ es decir, todos los $z$ con $|z|_p<1$ En otras palabras, con $v_p(z)>0$ . Pero la única "imagen" que tengo de él es completamente irreal, como un disco sin fisuras como el disco de la unidad compleja. Pero estas imágenes son importantes: una mala imagen mental puede despistar, llevarnos por el mal camino en serio.
Me gusta tener en cuenta la diferencia entre lo complejo y lo $p$ -Discos de unidad abierta. El disco complejo está conectado pero no se puede convertir en un grupo, mientras que el $p$ -Discos abiertos de la ADIC $D=D_{\text{$ p $-adic}}$ puede estar desconectada, pero tiene la estructura natural (vía adición) de un grupo. Además, se pueden poner infinitas estructuras de grupo completamente diferentes en $D$ . Por ejemplo, se puede traducir la estructura multiplicativa natural de $1+D$ a $D$ mediante la fórmula $x\star y=x+y+xy$ . Las otras estructuras de grupo tan diferentes necesitan series de potencias para su fórmula, pero no pasa nada
Respuesta tardía, pero me hice la misma pregunta y terminé tratando de ilustrar propiedades de los enteros p-ádicos usando la incrustación de Chistyakov.
El mundo de los 3 ádicos era el más sencillo, en el que se cumplía la siguiente propiedad : $$ord_p(a+b)\min(ord_p(a),ord_p(b))$$
puede verse como elementos que se mueven hacia la derecha. Sin embargo, otras propiedades (convergencia o visualización para otros valores de $p$ tuvieron menos éxito).
Puede encontrar más información y el código aquí: Visualización de los números P-ádicos
$\mathbf{Z}_p$ tiene dos definiciones equivalentes: como $\varprojlim \mathbf{Z}/p^n \mathbf{Z}$ es decir, el conjunto de secuencias $a = (a_1,a_2,\ldots), a_n \in \mathbf{Z}/p^n \mathbf{Z}, a_n \equiv a_m \bmod p^m \ (m \le n)$ con la suma y la multiplicación puntual.
O como $p$ -serie de los ádicos, es decir, la finalización de $\mathbf{Z}$ para el (no arquimédico) $p$ -Valor absoluto de la adicción $|k|_p = p^{-n}$ si $p^n | k, p^{n+1} \nmid k$ .
El $p$ -representación en serie de $(a_1,a_2,\ldots)$ es $a_1+\sum_{n=1}^\infty b_n p^n$ donde $b_n = \frac{a_{n+1}-a_{n}}{p^{n}}$
$\mathbf{F}_p[[t]]$ es la finalización de $\mathbf{F}_p[t]$ para el valor absoluto (no arquimédico) $|\sum_{l=m}^d a_l t^l|_v = p^{-m}$ si $a_m \not \equiv 0 \bmod p$
$ \mathbf{Q}_p= \mathbf{Z}_p[p^{-1}]$ y $ \mathbf{F}_p((t))= \mathbf{F}_p[[t]] \, [t^{-1}]$
Una diferencia importante es que $\mathbf{F}_p[[t]]$ es de la característica $p$ (es decir. $p = 0$ ) por lo que no se puede incrustar $\mathbf{Z}$ en $\mathbf{F}_p[[t]]$ .
Pero $\mathbf{Z}_p$ es de característica cero (finalización de $\mathbf{Z}$ o límite inverso de anillos de característica $p^n$ )
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¿Hay algo más en esta pregunta que simplemente querer algo como el hecho de que $p$ -adics puede escribirse como $p^k \sum_{n=0}^{\infty} a_n p^n$ y la serie de Laurent puede escribirse como $t^k \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n$ donde en cada caso el $a_n$ se seleccionan de un conjunto de representantes de las clases en $\mathbb{F}_p$ ?
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Para visualizar el $p$ -adics, aquí hay algunos enlaces: un puesto de MO , una imagen (ver diapositiva 28), y un video con una foto y alguna explicación.
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El papel Imágenes de espacios ultramétricos, el $p$ -números ácidos, y campos valorados de Jan E. Holly puede ser interesante para usted.