¿Cómo se puede demostrar que $n^{\frac{n+1}{n}}$ es creciente, posiblemente utilizando logaritmos pero no derivadas? Obtengo $(n^2+2n)log(n+1)\geq (n^2+2n+1)log (n)$ pero no puede seguir adelante.
¡Bien hecho! (+1)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Bernard
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34415
Una prueba puramente algebraica
Tenemos que demostrar que $$\bigl(n+1\bigr)^{\tfrac{n+2}{n+1}}> n^{\tfrac{n+1}{n}}\iff (n+1)^{n(n+2)}>n^{(n+1)^2}.$$ Tenga en cuenta que $\;(n+1)^{n(n+2)}=(n+1)^{(n+1)^2-1} $ por lo que la última desigualdad es equivalente a $$\frac{(n+1)^{(n+1)^2-1}}{n^{(n+1)^2}}>1\iff\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{(n+1)^2}>n+1$$ Apliquemos Desigualdad de Bernoulli : $$\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{(n+1)^2}>1+\frac{(n+1)^2}{n}=1+n+2+\frac 1n>3+n.$$
Ahmad
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284
Sugerencia : Utiliza el hecho de que $\ln(n+1) \geq \ln(n) +\frac{1}{n+1}$
Lema : $\ln(n+1) \geq \ln(n)+\frac{1}{n+1}$
O tenemos $\ln(\frac{n+1}{n}) \geq \frac{1}{n+1}$
Exponent-ate ambos lados nos da que $1+\frac{1}{n} =1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots\geq e^{\frac{1}{n+1}} = 1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2(n+1)^2}+\cdots$
Visualmente, la prueba es evidente.
minimax
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¿Qué te parece esto?
Desde $n^{1+1/n}=e^{(1+1/n)\ln{n}}$ y la exponencial es una función monotónicamente creciente, también lo es $(1+1/n)\ln{n}$ . A continuación, verifique que la función $g(x)=(1+1/x)\ln x$ es monotónicamente creciente. Sólo hay que demostrar que $g'(x)>0$ $\forall x>0$ . Tenemos \[ g'(x)= -\frac{1}{x^2}\ln x+\left(1+\frac{1}{x}\right)\frac{1}{x} \] Entonces, utilizando la desigualdad $-\ln x\geq 1-x$ válido para $x>0$ obtenemos \[ g'(x)\geq (1-x)\frac{1}{x^2}+\left(1+\frac{1}{x}\right)\frac{1}{x}=\frac{2}{x^2}>0 \]
rlpowell
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126
Nota (añadida después de la publicación): No me había fijado en la proscripción de derivados del OP. Dejo la respuesta por si alguien quiere ver un enfoque que ignore la proscripción.
Sea $u=1/n$ . Entonces
$$n^{n+1\over n}=n^{1+{1\over n}}=\left(1\over u\right)^{1+u}={1\over u^{1+u}}$$
Basta con demostrar que $u^{1+u}$ es una función creciente de $u$ lo que equivale a demostrar que $f(u)=(1+u)\ln u$ es una función creciente:
$$f'(u)={1+u\over u}+\ln u={1+u\over u}+\int_1^u{dt\over t}\ge{1+u\over u}+\int_1^u{dt\over u}={1+u\over u}+{u-1\over u}=2\gt0$$
Observación: La desigualdad
$$\int_1^u{dt\over t}\ge\int_1^u{dt\over u}$$
es fácil de ver para $u\ge1$ ya que $1/t$ se sustituye por su valor más pequeño, $1/u$ . Para $0\lt u\lt1$ es un poco más complicado: estás sustituyendo $1/t$ con su mayor pero estás integrando "al revés", produciendo un número negativo.
