¿Podemos concluir de $\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}\E g(X)h(Y)=\E g(X) \E h(Y)$de % que $X,Y$ son independientes?

Question

Bien, no podemos, ver por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence para una interesante contraejemplo. Pero la verdadera pregunta es: ¿hay alguna manera de fortalecer la condición para que la independencia de la siguiente manera? Por ejemplo, ¿hay algún conjunto de funciones de $g_1, \dotsc, g_n$, de modo que si $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ todos los $i,j$ luego de la independencia de la siguiente manera? Y, ¿qué tan grande debe este tipo de conjunto de la función de ser, infinito?

Y, además, ¿hay alguna buena referencia de que trata esta cuestión?

Answer 1

Deje $(\Omega, \mathscr F, P)$ ser un espacio de probabilidad. Por la definición de dos variables aleatorias $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ son independientes si su $\sigma$-álgebras $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ son independientes, es decir, $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ tenemos $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

Deje $g_a(x) = I(x \leq a)$ y tome $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ (gracias a @grand_chat por señalar que $\mathbb Q$ es suficiente). Entonces tenemos $$ E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq)I(X \leq b)) = E(I(X \leq una, Y \leq b)) = P(X \leq \cap Y \leq b) $$ y $$ E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(X \leq b). $$

Si asumimos que el $\forall a, b \in \mathbb Q$ $$ P(X \leq \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(X \leq b) $$ entonces podemos recurrir a la $\pi-\lambda$ teorema para demostrar que $$ P(a \cap B) = P(a)P(B) \hspace{5mm} \forall \en S_X, B \in S_Y $$ es decir,$X \perp Y$.

Por lo menos he cometido un error, hemos por lo menos tiene una contables de recogida de tales funciones, y esto se aplica para cualquier par de variables aleatorias definidas sobre un común espacio de probabilidad.