¿Podría alguien ayudarme a ver cómo converge $\sum_{n=1}^\infty \frac{n 2^{n-1}}{3^n}$ $3$?

Question

¿Podría alguien ayudarme a ver cómo esta suma infinita converge a $3$?

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n 2^{n-1}}{3^n} = 3$$

Answer 1

He aquí una forma equivalente a hacer sin el uso de la derivada de la serie geométrica.

Tenga en cuenta que $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n-1}}{3^{n}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{2}{3}\right)^{n}. $$ La suma en el lado derecho se ve casi como una serie geométrica. Tiene la forma $$ \sum_{n=1}^{\infty}nc^{n}\text{ donde }\left|c\right|<1. $$ Definir la suma parcial $$ s_{N}=\sum_{n=1}^{N}nc^{n}. $$ Por lo tanto, \begin{align*} \left(c-1\right)^{2}s_{N} & =\left(c-1\right)^{2} \sum_{n=1}^{N}nc^{n}\\ & =\left(\left(c-1\right)N-1\right)c^{N+1}+c & \text{(after simplifying)} \end{align*} y por lo tanto $$ s_{N}=\frac{\left(\left(c-1\right)N-1\right)c^{N+1}+c}{\left(c-1\right)^{2}}. $$ Tomando límites en lo anterior, podemos ahora concluir con la identidad $$ \sum_{n=1}^{\infty}nc^{n}=\frac{c}{\left(c-1\right)^{2}}\text{ para }\left|c\right|<1. $$

Volviendo al problema original, podemos usar nuestra identidad para determinar la solución: $$ \boxed{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n-1}}{3^{n}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=\frac{1}{2}\frac{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}-1\right)^{2}}=3} $$

Answer 2

Usted puede rewite como:

$$\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$$

que es un caso especial de la serie $\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}$ que puede obtenerse al diferenciar ambos lados de la fórmula para la serie geométrica.

Answer 3

$$\begin{array}{ccccccccccccccccc} & 1 & + & 2\cdot\dfrac 2 3 & + & 3\cdot\left( \dfrac 2 3 \right)^2 & + & 4\cdot\left( \dfrac 2 3 \right)^3 & + & 5\cdot\left( \dfrac 2 3 \right)^4 & + \ & \cdots \\[10pt] & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\[10pt] = & 1 & + & \dfrac 2 3 & + & \left( \dfrac 2 3 \right)^2 & + & \left( \dfrac 2 3 \right)^3 & + & \left( \dfrac 2 3 \right)^4 & + & \cdots \\[10pt] & \blacksquare & + & \dfrac 2 3 & + & \left( \dfrac 2 3 \right)^2 & + & \left( \dfrac 2 3 \right)^3 & + & \left( \dfrac 2 3 \right)^4 & + & \cdots \\[10pt] & & & \blacksquare & + & \left( \dfrac 2 3 \right)^2 & + & \left( \dfrac 2 3 \right)^3 & + & \left( \dfrac 2 3 \right)^4 & + & \cdots \\[10pt] & & & & & \blacksquare & + & \left( \dfrac 2 3 \right)^3 & + & \left( \dfrac 2 3 \right)^4 & + & \cdots \\[10pt] & & & & & & & \blacksquare & + & \left( \dfrac 2 3 \right)^4 & + & \cdots \\[10pt] & & & & & & & & & \blacksquare & + & \cdots \\[10pt] & & & & & & & & & & & \ddots \end{matriz} $$

Cada fila horizontal de la matriz triangular superior es una serie geométrica. Tiene una fórmula para aquellos, así que las sume. Obtienes: $$\begin{array}{cc} {} & 3 \\ + & 2 \\ + & 4/3 \\ + & 8/9 \\ + & 16/27 \\ + & \cdots \\ \vdots \\[10pt] = & 9. \end{matriz} por lo tanto del $$ $$ los \sum_{n=1}^\infty n \left (\frac 2 3 \right)^{n-1} = 9 $$ finalmente $ \sum_{n=1}^\infty n \frac{2^{n-1}}{3^n} = 3. $$

Answer 4

Que %#% $ #%

Tenga en cuenta que la mitad de la suma es igual a $$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n-1}}{3^n}.$ $ $$\frac{1}{2}S=\frac{2^1}{3^1}+2\frac{2^2}{3^2}+3\frac{2^3}{3^3}+\cdots$ $ $$=\frac{2^1}{3^1}+\frac{2^2}{3^2}+\frac{2^3}{3^3}+\cdots$ $ $$+0+\frac{2^2}{3^2}+\frac{2^3}{3^3}+\cdots$ $ $$+0+0+\frac{2^3}{3^3}+\cdots$ $ $$\vdots$ $

Así, $$=2+\frac{4}{3}+\frac{8}{9}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{3^{n-1}} =3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{3^{n}}=3\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}} =3\times2=6.$.

Answer 5

SUGERENCIA: $$\sum_{i=0}^\infty x^n = \frac{1}{x-1}$ $

Así $$\sum_{i=1}^\infty nx^{n-1} = -\frac{1}{(x-1)^2}$ $