¿Por qué se pueden escribir números complejos en forma exponencial?

Question

He estudiado que es de la forma exponencial de un número complejo $z=r(\cos \theta+i\sin \theta)$ $z=re^{i\theta}$.

¿Puede alguien explicarme por qué?

Answer 1

Vamos a considerar una función de $\mathbb R\to \mathbb C$

$z(\theta) = \cos \theta + \sin \theta\\ z(\theta)z(\phi) = (\cos \theta + \sin \theta)(\cos \phi + i\sin \phi) = \cos(\theta + \phi) + i\sin (\theta+\phi) = z(\theta + \phi)$

Que es una propiedad de una función exponencial. No sabemos la base.

Para algunos la base de:

$\exp (iy) = z(y) =\cos y + i\sin y$

y:

$\exp (x + iy) = \exp(x)\exp(iy) =\exp(x) (\cos y + i\sin y)$

Y, a continuación, puede definir $e$ a ser la necesaria base. En mucho de complejo análisis, no importa que sea el mismo $e$ como usted ha aprendido a ser constante de Euler.

Sin embargo, si usted ha tomado el cálculo, se debe reconocer que estas expansiones de Taylor.

$e^x = \sum_\límites{n=0}^{\infty} \frac {x^n}{n!}\\ \cos x = \sum_\límites{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\\ \sen x = \sum_\límites{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

¿qué es

$e^{ix}$ ?

$e^{ix} = \sum_\límites{n=0}^{\infty} \frac {{ix}^n}{n!}\\ 1 + ix + \frac {(ix)^2}{2} + \frac {(ix)^3}{3!}+ \frac {(ix)^4}{4!} \cdots\\ 1 + ix + \frac {x^2}{2} + \frac {-ix^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} \cdots$

recoger las condiciones reales y los imaginarios en términos

$(1 - \frac {x^2}{2} + \frac {x^4}{4!}\cdots )+ i( x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} \cdots)\\ e^{ix} = \cos x + i\sin x$

Sin cálculo.

podemos definir $e = \lim_\límites{n\to\infty}(1+\frac {1}{n})^n\\ e^x =\lim_\límites{n\to\infty} (1+\frac {1}{n})^{nx} $

Hacer una sustitución de $m = nx$

$e^x =\lim_\limits{m\to\infty} (1+\frac {x}{m})^m $

A continuación, veamos lo que sucede como $m = 1, 2,3, etc.$

Ya hemos demostrado que la multiplicación de números complejos se multiplica la longitud y añade los ángulos.

Como $m$ aumenta espero que usted puede ver cómo la secuencia de segmentos de línea que comienza a mentir sobre la curva del círculo.

y al $m$ es muy grande viene a descansar en $\cos x + i\sin x$

Answer 2

Aquí es un lugar elegante de la prueba.

La función de $f : t\mapsto \cos t+i\sin t$ es diferenciable y satisface \begin{align*} f'(t) &= i\,f(t) \\ f(0) &= 1 \end{align*} Ahora vamos a resolver.

Primera Prueba Tenemos $f(0) = 1$ y

$$f'(t) = (\cos t+i\sin t)' = -\sin t+ i\cos t = i(\cos t+i\sin t) =if(t) $$ Ahora vamos a resolver esta ecuación diferencial $$f'(t) = if(t)\Longleftrightarrow e^{-it}f'(t) -ie^{-it} f(t)=0 \Longleftrightarrow \frac{d}{dt}\left(e^{-it} f(t)\right) = 0$$

Que es $$e^{-it} f(t) = c\Longleftrightarrow f(t) = ce^{it}$$

Pero $f(0)=1 $ i.e $c=1$. Por lo tanto $f(t)=e^{it}$.

Segunda prueba

Ser muy riguroso con la notación, hacer una integral definida arbitraria $t_1$$t_2$:

\begin{align*} \frac{f'(t)}{f(t)} &= i \\ \int_{t_1}^{t_2}\frac{f'(t)}{f(t)}\,dt &= i\,(t_2-t_1) \end{align*}

Ahora vamos a hacer un cambio de variables¹ el uso de $y=f(t)\implies dy=f'(t)\,dt$:

\begin{align*} \int_{f(t_1)}^{f(t_2)}\frac{1}{y}\,dy &= i\,(t_2-t_1) \\ \ln(f(t_2))-\ln(f(t_1)) &= i\,(t_2-t_1) \\ f(t_2)/f(t_1) &= e^{i\,(t_2-t_1)} \\ &= e^{it_2}/e^{it_1} \end{align*}

Por lo tanto: $$f(t) = e^{it}$$

^{1tenga en cuenta que nosotros usamos el hecho de que $f$ es uno-a-uno aquí. Técnicamente, este necesita ser probada.}

Answer 3

Hay varias razones. Aún sin entrar en los detalles técnicos de por qué es correcto, aquí está una pequeña lista de razones de por qué podría ser una buena idea:

1. Es muy fácil de usar que el formulario de la lectura de la longitud y el ángulo de su número complejo
2. Es fácil reconocer el formulario y vea que es, de hecho, trata de transmitir la longitud y el ángulo opuesto a, por ejemplo, la anchura y la altura que podemos ver en la $a+bi$ formulario.
3. Las reglas para el complejo de la multiplicación significa que el secuestro de la notación exponencial y el (mal)uso de la intuición que se tiene de real exponenciación da los resultados correctos

Answer 4

En esta respuesta, se muestra que $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i\theta}n\right)^n=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\tag1 $$ Por lo tanto, podemos decir $$ e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\tag2 $$ También podemos utilizar el poder de la serie para $e^x$, $\cos(x)$, y $\sin(x)$ a derivar $(2)$.

En cualquier caso, una vez que hemos $(2)$, cualquier punto en el círculo unitario en $\mathbb{C}$ puede ser representado como $e^{i\theta}$ para algunos $\theta\in\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$; $\theta$ es el argumento de ese punto.

Además, el uso de $(2)$, podemos escribir cualquier punto en $\mathbb{C}$ $$ \begin{align} x+iy &=\overbrace{r\cos(\theta)}^x+i\,\overbrace{r\sin(\theta)}^y\\ &=re^{i\theta}\tag3 \end{align} $$ Una identidad importante es $$ \begin{align} e^{i\theta}e^{i\phi} &=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))(\cos(\phi)+i\sin(\phi))\\ &=(\cos(\theta)\cos(\phi)-\sin(\theta)\sin(\phi))+i(\sin(\theta)\cos(\phi)+\cos(\theta)\sin(\phi))\\ &=\cos(\theta+\phi)+i\sin(\theta+\phi)\\ &=e^{i(\theta+\phi)}\tag4 \end{align} $$ La ecuación de $(4)$ nos dice que podemos combinar imaginario exponentes como nosotros lo hacemos real.

Answer 5

Si $z=0$ es claro que podemos tomar $r=0$ y cualquier valor de $\theta$.

Tenga en cuenta que cualquier número en el complejo de la unidad de círculo puede ser escrito como $\cos t + i \sin t$ algunos $t$.

Tenga en cuenta que cualquier número complejo distinto de cero $z$ puede ser escrito como $z= |z| {z \over |z|}$ ${z \over |z|}$ se encuentra en el complejo de la unidad de círculo.

Si dejamos $r=|z|$, entonces podemos ver que hay algunos $t$ tal que $z = r (\cos t + i \sin t)$.

En cuanto a porqué $e^{it} = \cos t + i \sin t$, vamos $\phi(t) = e^{it} - ( \cos t + i \sin t ) $, tenga en cuenta que$\phi(0) = 0$$\phi'(t) = i\phi(t)$. Por lo tanto $e^{-it} \phi(t)$ es una constante, del que se desprende que el $\phi(t) = 0$ todos los $t$.