Matrices equipado con la forma del rango de distancia un espacio métrico

Question

Ahora mismo, me estoy tomando un introductorio básico curso de análisis. Me encontré esto en wikipedia y estoy Realmente luchando para demostrar que es un espacio métrico. (Necesita ayuda con la 3ª axioma de la métrica del espacio de la mayoría y hacer el 2do uno más riguroso y menos handwaving)

El conjunto de todos los $m$ $b$ matrices a través de algunas de campo es un espacio métrico con respecto al rango de distancia $d(X,Y)=\operatorname{rank}(Y-X) $

Los hechos, que yo sepa: Así que yo sé que en el fin de demostrar que algo es un espacio métrico

1. $d(X,Y)=0$ fib $X=Y$ (tiene que probar de las dos formas)

2. $d(X,Y)=d(Y,X)$ (Simetría).

3. $d(X,Y)\leqslant d(X,Z) +d(Z,Y)$ (Triángulo de la desigualdad).

También, ha sido un largo tiempo desde que he tomado de álgebra lineal", pero ahora que se que para encontrar el rango, reducir una matriz a su escalonada y el número de distinto de cero filas es el rango (o creo que el número de filas linealmente independientes, de nuevo ha sido un tiempo).

Mi intento:

1. Si $Y=X$, $\operatorname{rank}(Y-X)=\operatorname{rank}(Y-Y)=\operatorname{rank}(O)$ (donde $O$ es el nulo de la matriz), que es claramente igual a $0$. Por lo tanto $d(X,Y)=0$. Demostrando otra dirección si $d(X,Y)=0$,$\operatorname{rank}(Y-X)=0$. En este caso, $Y$ debe necesariamente igual a $X$. Si $Y$ no es igual a $X$, el rango debe ser de al menos $1$.

2. ¿Por qué debe $d(X,Y)=d(Y,X)$? La matriz $X-Y$ $Y-X$ sólo se diferencian por signos. Eso no cambia el rango. Por lo tanto $\operatorname{rank}(Y-X)=\operatorname{rank}(X-Y)$. (siento que la mano saludó esta explicación un poco).

3. ¿Por qué debe $d(X,Y)\leqslant d(X,Z)+ d(Z,Y)$? Necesidad de mostrar: $$\operatorname{rank}(Y-X)\leqslant\operatorname{rank}(Z-X)+ \operatorname{rank}(Y-Z)$$where $X,Y,Z$ are $m \times n$ matrices.

   Este no estoy seguro en absoluto cómo acercarse a este. ¿Por qué debe $\operatorname{rank}(Y-X)\leqslant \operatorname{rank}(Z-X)+\operatorname{rank}(Y-Z)$? No estoy seguro de por qué esto debe ser el caso y de cómo formalmente mostrar esto.

Answer 1

La respuesta para el primer y segundo puntos son correctos. La segunda no es de la mano-ondulado por cualquier medio, usted ha dicho lo esencial, a saber, que $X-Y$ es un escalar varios de $Y-X$, por lo que su rango es el mismo.

Como para el tercero, si $Z - X = a$$Y - Z = b$, entonces básicamente usted tiene que probar que el $\operatorname{rank}(a+b) \leq \operatorname{rank}(a) + \operatorname{rank}(b)$.

Sin embargo, tenga en cuenta que si un conjunto de vectores lapso de las columnas de a $a$, y otro conjunto de vectores lapso de las columnas de a $b$, entonces la unión de estos vectores se extiende por las columnas de a $a+b$. Desde aquí, os animo a utilizar la definición de rango de entender el porqué de esta afirmación de la siguiente manera.

EDIT : Supongo que $\{e_i\}$ de intervalo de las columnas de a $a$, e $\{f_j\}$ de intervalo de las columnas de a $b$. Mi reclamo es que $\{e_i\} \cup \{f_j\}$ de intervalo de las columnas de a $a+b$.

Es fácil ver por qué. Supongamos $A$ es una columna de $a+b$, entonces sabemos que $A= A_a + A_b$ donde $A_a$ $A_b$ son las columnas correspondientes de $a$ $b$ a los que se sumaron para dar la columna de $A$$a+b$.

Ahora, $A_a$ es atravesado por la $\{e_i\}$, por lo que existen constantes $c_i$ tal que $A_a = \sum_{i} c_ie_i$. Simiarly, ya $A_b$ es distribuido por $\{f_j\}$, obtenemos que $A_b = \sum_j d_jf_j$ para algunas constantes $d_j$.

La suma de estos dos, le da ese $A = \sum_i c_ie_i + \sum_j {d_jf_j}$. Por lo tanto, se puede ver que $A$ es distribuido por $\{e_i\} \cup \{f_j\}$. Por lo tanto, el rango de $A$ es menor que el tamaño de $\{e_i\} \cup \{f_j\}$, que es menos de $\operatorname{rank} a + \operatorname{rank} b$. Por lo tanto, la desigualdad de la siguiente manera.