¿Todo cubo perfecto es la diferencia de dos cuadrados perfectos?

Question

¿Cómo se puede demostrar esto sin inducción? Sé que una forma fácil es utilizar el principio de Al Kharchi (a saber, que $1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2$ ), pero ¿hay otras formas? Gracias.

Answer 1

Por supuesto, diciendo explícitamente lo que tienes,

$$ n^3 = \left( \frac{ n (n+1) } { 2} \right ) ^2 - \left( \frac{ n (n-1) } { 2} \right ) ^2 $$

Answer 2

Si $a^2-b^2=n^3=n^2\cdot n$

podemos establecer $a+b= n^2$ y $a-b=n$

para que $a=\frac{n^2+n}2=\frac{n(n+1)}2$ que es un número entero como $n(n+1)$ es incluso

Del mismo modo, $b=\frac{n^2-n}2=\frac{n(n-1)}2$

En términos más generales, si $a^2-b^2=n^{k+1}=n^k\cdot n$ para números enteros $k\ge2$

podemos establecer $a+b= n^k$ y $a-b=n$ para que $a=\frac{n^k+n}2=\frac{n(n^{k-1}+1)}2$

Observe que $n$ y $n^{k-1}+1$ tienen paridades opuestas, lo que hace que el producto sea par

Del mismo modo, $b$ se puede gestionar