Transformada inversa de Laplace de cálculo

Question

Calcular la transformada inversa de Laplace

$$ \displaystyle{ \mathcal{L^{-1}} \{ s\log \frac{s^2 + a^2}{s^2 - a^2} \} }$$

Sé que es aburrido, pero realmente agradecería un poco de ayuda.

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Me gustaría avanzar paso a paso de la siguiente manera (usando $\risingdotseq$ para la correspondencia de la original y de la imagen):

$$f\left(x\right)\risingdotseq F=s\log\frac{s^{2}+a^{2}}{s^{2}-a^{2}}$$ $$\int_{0}^{x}f\left(t\right)dt\risingdotseq\frac{F}{s}=\log\frac{s^{2}+a^{2}}{s^{2}-a^{2}}$$ $$-x\int_{0}^{x}f\left(t\right)dt\risingdotseq \frac{d}{ds}\left(\frac{F}{s}\right)=\frac{2s}{s^{2}+a^{2}}-\frac{2s}{s^{2}-a^{2}}$$ $$-x\int_{0}^{x}f\left(t\right)dt\risingdotseq\frac{2s}{s^{2}+a^{2}}-\frac{2s}{s^{2}-a^{2}}$$ la inversión de la RHS:

$$-x\int_{0}^{x}f\left(t\right)dt=2\cos ax-2\cosh ax \qquad (*)$$ EDICIÓN (gracias al comentario de Fabian): diferenciar una vez con respecto a $x$ $$-\int_{0}^{x}f\left(t\right)dt-xf\left(x\right)=-2a\sin ax-2a\sinh2x$$ Ahora multiplique por $x$ y restar (*): $$x^2f(x)=2(ax\sin{ax}+ax\sinh{ax}+\cos{ax}-\cosh{ax})$$ $$f(x)=\frac{2}{x^2}(ax\sin{ax}+ax\sinh{ax}+\cos{ax}-\cosh{ax})$$