Integral de la $\int \frac{du}{u \sqrt{5-u^2}}$

Question

Estoy tratando de encontrar esta integral y puedo obtener la respuesta en wolfram, por supuesto, pero no sé lo que está mal con mi método, después de haber pasado por dos veces. $$\int \frac{du}{u \sqrt{5-u^2}}$$

$u = \sqrt{5} \sin\theta$ $du= \sqrt{5} \cos \theta$

$$\int \frac{\sqrt{5} \cos \theta}{\sqrt{5} \cos \theta \sqrt{5-(\sqrt{5} \sin \theta)^2}}$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{5-(5 \cos^2 \theta)}}$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{5(1- \cos^2 \theta)}}$$ $$\int \frac{1}{\sqrt{5(\sin^2 \theta)}}$$

$$\frac{1}{\sqrt5}\int \frac{1}{(\sin \theta)}$$

$$\frac{1}{\sqrt5}\int \csc\theta$$

$$\frac{\ln|\csc \theta - \tan \theta|}{\sqrt5} + c$$

Answer 1

Primero: no olvide escribir diferenciales $d\theta$ - son importantes y no hacerlo puede conducir a errores lamentables. Pero aquí el problema es que usted escribió $\sqrt5\cos\theta$ en el denominador de $u$ en lugar de $\sqrt5\sin\theta$: es en la primera fila donde se hace la sustitución, por lo que el conjunto solución es incorrecta aunque todos los nuevos pasos que parecía ser hecho de la manera correcta.

Answer 2

Usted cometido varios errores a lo largo de su respuesta. Una vez corregida la respuesta debe ser

$$\int \frac{du}{u \sqrt{5-u^2}}$$

$u = \sqrt{5} \sin\theta$ $du= \sqrt{5} \cos \theta d\theta$

\begin{eqnarray} \int \frac{du}{u \sqrt{5-u^2}} &=& \int\dfrac{ \sqrt{5} \cos \theta d\theta}{\sqrt{5} \sin\theta \sqrt{5 - (\sqrt{5} \sin\theta)^2}} \\ &=& \int\dfrac{ \cos \theta d\theta}{ \sin\theta \sqrt{5 - 5 \sin^2\theta}} \\ &=& \int\dfrac{ \cos \theta d\theta}{ \sin\theta \sqrt{5cos^2\theta}} \\ &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}}\int\dfrac{ \cos \theta d\theta}{ \sin\theta \cos\theta} \\ &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}}\int\dfrac{ d\theta}{ \sin\theta } \\ &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}}\int \sec\theta d\theta \\ &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}}\int \csc\theta \dfrac{ \csc \theta + \cot \theta }{ \csc \theta + \cot \theta } d\theta\\ &=& -\dfrac{1}{\sqrt{5}} \ln|\csc\theta+\cot\theta| +C \end{eqnarray}

Entonces a partir de la $\sin \theta = \dfrac{u}{\sqrt{5}}$, dibujando el triángulo encontramos que la parte restante es $\sqrt{\sqrt{5}^2 -u^2} = \sqrt{5 -u^2}$. Por lo tanto,$\csc \theta = \dfrac{1}{\sin \theta}= \dfrac{\sqrt{5}}{u}$$\cot\theta = \dfrac{1}{\tan \theta} = \dfrac{\sqrt{5 -u^2}}{u}$. Así \begin{eqnarray} -\dfrac{1}{\sqrt{5}} \ln|\csc\theta+\tan\theta| +C &=& -\dfrac{1}{\sqrt{5}} \ln\left|\dfrac{\sqrt{5}}{u}+\dfrac{\sqrt{5 -u^2}}{u}\right| + C \\ &=& -\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(-\ln|u| + \ln\left|\sqrt{5}+\sqrt{5 -u^2}\right|\right) + C \end{eqnarray}