Cómo demostrar a $v_{p}(x!-y!)=v_{p}(y!)$ $p|x$, $p|y$ y $x > y$

Question

Deje $x,y$ ser enteros positivos y $p$ ser un número primo tal que $x>y$ y $p|x$,$p|y$. Probar o refutar que $$v_{p}(x!-y!)=v_{p}(y!),$$ donde $v_{p}$ denota la potencia más grande de $p$ que divide $n$.

Desde $x>y$, $y!|x!$ y $$x!-y!=y![x(x-1)\cdots (y+1)-1].$$

Answer 1

Es claro que desde $x>y$ $p^{v_p(y!)}\mid x!-y!$ para cualquier comunes principal factor de $p$$x$$y$, por lo que queda por mostrar que $v_p(y!)$ es de hecho el mayor entero $t$ que $p^t\mid x!-y!.$ Supongamos que no. A continuación, $p^{v_p(y!)+1}\mid x!-y!.$ Es de la siguiente manera a partir de la identidad se deriva que $p\mid x(x-1)\cdots(y+1)-1,$ lo cual es una contradicción ya que el $p\mid x.$ por lo Tanto $p^{v_p(y!)+1}\nmid x!-y!$ y, por tanto, $v_p(x!-y!)=v_p(y!).$