Probando el resto es $1$ si el cuadrado de un primo es dividido por $12$

Question

Dado, $p$ es un número primo y $p>3$. ¿Cómo podemos probar que el resto $r$ siempre $1$ si $p^2$ se divide por $12$?

Answer 1

$ p^2 -1 =(p-1)(p+1) $. Puesto que p es impar, estos son dos factores, por lo que el producto es divisible por 4. También, una de las p-1, p, p+1 debe ser divisible por 3, pero como p es primo, no es divisible por 3. Así, uno de p-1 o p+1 debe ser divisible por tres.

Answer 2

Sugerencia: considerar $0,1,2,\ldots, 11$, los cuales son todos los posibles restos modulo 12. Sacar los que no, ser congruente a un primo mayor que 3. Plaza todos los que están a la izquierda modulo 12, y ver lo que se obtiene.

Answer 3

Sugerencia: $\,3 < p\,$ primer $\,\Rightarrow\, p = 6n\pm 1\,\Rightarrow\, p^2 = 36n^2\pm12n+1$

Answer 4

Si $(a,12)=1, (a,3)=1$ $ (a,2)=1$

$(a,3)=1\implies a\equiv\pm1\pmod 3\implies a^2\equiv1\pmod 3$

$(a,2)=1\implies a$ es extraño $=2b+1$(por ejemplo) donde $b$ es un número entero

$(2b+1)^2=4b^2+4b+1=8\frac{b(b+1)}2+1\equiv1\pmod 8$

$\implies a^2\equiv1\pmod { \text{lcm}(3,8)}$

Ahora, lcm $(3,8)=24$

Answer 5

Sugerencia:

desde $p>3$ sabemos que $p$ no es uniforme. Así que las posibilidades de $p$ mod$(4)$: $...$

en consecuencia, para el $p^2$ mod$(4)$: $...$

y para $p$ mod$(3)$: $...$

en consecuencia, para el $p^2$ mod$(3)$: $...$

Si usted hizo la derecha cálculos verás que en ambos casos $p^2\equiv 1$ mod$(4)$ y mod$(3)$ , por lo que ?