¿Es una pregunta correcta?

Question

Esta es una pregunta de examen en el análisis funcional, lo cual para mí no tiene sentido la forma en que está escrito. Estoy pidiendo a usted, si usted está de acuerdo conmigo en que las modificaciones que se necesita hacer en la pregunta.

Pregunta: Vamos a $X$ $Y$ ser normativa espacios lineales y $T: X\rightarrow Y$ un operador lineal. Recordemos que el dual $X^*$ $X$ es el espacio delimitado lineal funcionales en $X$ con la norma $||\phi ||=sup\{|\phi (x) | :x\in X \textrm{ and } ||x||\leq 1 \}$. (De manera similar para $Y$). Definir $T^*:Y^*\rightarrow X^*$$[T^*(\phi )](x)=\phi (Tx)$$\phi \in Y^*$. Mostrar que $||T^*||\leq ||T||$.

Mis comentarios a la pregunta: Definir $T^*:Y^*\rightarrow X^*$$[T^*(\phi )](x)=\phi (Tx)$$\phi \in Y^*$. Para mí esto no tiene sentido, pero entiendo que si uno cae el $x$, es decir, $T^*:Y^*\rightarrow X^*$ $T^*(\phi )=\phi T$ desde entonces, el dominio y el codominio tiene sentido, lo que me preocupa con la notación anterior, es que la $[T^*(\phi )](x)$ no tiene ningún significado desde $\phi$ no está definido en la $X$ y, además, $\phi (Tx)$ es un escalar y no un elemento de $X^*$. Además, me siento un poco ackward de hablar acerca de $||T||$ al $T$ no se considera limitada, así que he supuesto que. Es esto correcto o podemos hablar de $||T||$ en algunos de manera general al $T$ es no acotado? Con este cambio de la pregunta, entiendo que la solución a la misma, he añadido los índices de las normas, por lo que es posible seguir mi argumento: $|| T^*(\phi )||_{X^*}=||\phi T||_{X^*}$ $=sup \{|\phi T x| : ||x||_{X}\leq 1 \}$ $\leq sup \{||\phi ||_{Y^*} || T ||_{B(X,Y)}||x||_{X} : ||x||\leq 1 \}$ $= ||\phi||_{Y^*} || T ||_{B(X,Y)}.$ por lo tanto $|| T^*(\phi )||_{X^*}$ $\leq ||\phi||_{Y^*} || T ||_{B(X,Y)}$. Ahora, $||T^*||=sup \{|| T^*\phi ||_{X^*} : ||\phi ||_{Y^*}\leq 1 \}$ y, por tanto, dejando $||\phi ||_{Y^*}\leq 1$ en la desigualdad $|| T^*(\phi )||_{X^*}$ $\leq ||\phi||_{Y^*} || T ||_{B(X,Y)}$ showes que $||T^*||\leq ||T||$.

¿Qué piensa usted acerca de la pregunta y la propuesta de modificaciones?

Answer 1

No hay nada malo con el problema como está expresado. Lo único es que se olvida de decir $T$ es limitado. Sino que debe ser claro ya que menciona $\|T\|$.

Answer 2

La pregunta está correctamente indicada, pero fronteridad tiene que ser asumido. Si $\phi\in Y^*$, entonces, por definición, $T\phi\in X^*$ y por lo tanto, tenía sentido $[T\phi](x)$. También $Tx\in Y$ y por lo tanto, tenía sentido $\phi(Tx)$. El % de forma $T^*\phi = \phi\circ T$también está bien.