Ver que $\Bbb F_2[x]/(x^2+x+1)$ es un campo

Question

Tengo algunas preguntas básicas con polinomios agradeceria si alguien me podría explicar esto.

Siguiente es adicional y tablas de multiplicar y es decir que este es un campo. No tienen idea por qué dicen que es campo.

Por favor me explique.

Answer 1

Sólo tenga en cuenta que, para la multiplicación, cada elemento no nulo en la primera columna tiene, en su línea, un $1$, que significa que tiene una inversa a la derecha... Ahora, para cada elemento en la primera fila, que contiene elementos de distinto de cero, tiene un 1 en su columna, lo que significa que es izquierda-inversible.

Por lo tanto, es un campo ya que todo elemento distinto de cero es invertible.

Answer 2

Si $R$ es un anillo con unidad y $f\in R[x]$ un polinomio, entonces $R[x]/\langle f\rangle$ es siempre al menos un anillo. Para ser un campo, es necesario una unidad (check) y cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo (check).