Espacios de Hilbert de QFT sobre otros anillos distintos de los números complejos $\mathbb{C}$

Question

Me gustaría que me ayudaran a evaluar una teoría física propuesta recientemente por un profesor de física del College of Dupage.

Creo que la teoría es totalmente errónea, por razones muy simples. Si un aficionado cree que puede refutar a un profesor de física (sobre todo si utiliza la lógica simple y el álgebra básica, y especialmente cuando se trata de mecánica cuántica), no suele ser una buena señal, por decirlo suavemente. Quiero aprender aquí, y necesito la ayuda de los expertos en física para evaluar la teoría.

He tomado algunas clases de física en el día, pero soy esencialmente un aficionado autodidacta, por lo que agradecería mucho las respuestas que están en el nivel de licenciatura de física y se refieren a un libro de texto que puedo leer más por mi cuenta.

Por favor, sea pedante, ya que las cuestiones pueden ser sutiles. Esto partió de un compañero de trabajo (que a diferencia de mí tiene un doctorado en física), que trató de descartar una propuesta de teoría de la gravedad cuántica (borrador aquí) basándose en algunos argumentos muy básicos. El profesor de física que sugiere la teoría ha declarado públicamente que mi compañero de trabajo está ignorando por completo la esencia de la propuesta porque está malinterpretando los fundamentos de la QFT y la RG. Ambos afirman que el otro está tan equivocado que básicamente debería volver a la escuela. Así que esto se ha convertido en un fascinante debate de física para mí. Sé que muchas veces, cuando se aprende un tema difícil, las conclusiones aparentemente obvias de los conceptos básicos pueden ser erróneas, y aunque los argumentos de mi compañero son muy convincentes para mí, es tan básico que hace temer que sólo esté malinterpretando al profesor. Seguí haciendo preguntas, así que mi compañero de trabajo me envió aquí para obtener ayuda imparcial.

La cuestión en cuestión es el punto de partida de la propuesta, que consiste en definir un espacio de Hilbert sobre algunos escalares distintos de los números complejos. En particular, un subconjunto de matrices de 4x4 que puede escribirse como $x_a \gamma^a$ donde ( $x_a$ son cuatro números reales, y $\gamma^a$ son las matrices de dirac). El documento se refiere a $x_a$ como cuatro vectores en el álgebra $C\ell_{1,3}(R)$ (el álgebra de las matrices de dirac). Así que el punto de partida del artículo es un "espacio de Hilbert sobre el espacio de los cuatro vectores".

Según tengo entendido, dos argumentos simplificados contra esta teoría son:

Primera línea de razonamiento

Un espacio de Hilbert $H$ sobre algunos escalares $S$ debe satisfacer:

1. Para cualquier vector $X \in H$ y escalar $a \in S$ entonces $aX \in H$ (la multiplicación escalar da otro vector en $H$ )

2. Para dos vectores cualesquiera $X,Y \in H$ el producto interior $\langle X|Y\rangle \in S$ (el producto interior de dos vectores es un escalar en el espacio de Hilbert)

3. Para dos vectores cualesquiera $X,Y \in H$ y escalar $a \in S$ el producto interior $\langle X|aY\rangle = \langle X|Y \rangle a$ (el producto interior es lineal)

Entonces, aplicando #1 y #2 $\langle X|aY\rangle \in S$ . Entonces, aplicando este hecho junto con el #3, para un escalar arbitrario $a \in S$ y cualquier escalar que pueda escribirse como resultado de un producto interior $b=\langle X|Y\rangle$ el resultado de multiplicar estos dos escalares en $S$ debe ser también un escalar en $S$ (simplemente, $ba \in S$ ).

Por lo tanto, un contraejemplo de la existencia de este espacio de Hilbert, es mostrar que dos cuatro vectores multiplicados en el álgebra $C\ell_{1,3}(R)$ no es un cuatro-vector (en otras palabras, los cuatro-vectores no son una sub-álgebra de $C\ell_{1,3}(R)$ ).

Esto se puede descomponer en álgebra matricial simple ( por ejemplo como hizo mi compañero de trabajo aquí ) para demostrar que la multiplicación de estos "escalares" no es cerrada en el conjunto de estos escalares, porque la multiplicación de dos cuatro vectores puede dar lugar a algo distinto de un cuatro vector. He trabajado esto de forma más general, y parece que la multiplicación de dos cuatro vectores cualesquiera no dará lugar a otro cuatro vector a menos que al menos uno de los cuatro vectores sea el vector cero (0,0,0,0). Sin embargo, no confío lo suficiente en mi trabajo como para descartar a un profesor. ¿Es suficiente un contraejemplo? ¿O es posible que una vez que restringimos a sólo escalares que son el resultado de productos internos, que de alguna manera el producto es cerrado?

En una referencia que me recomendó el profesor, se habla con bastante claridad del producto en las álgebras de Clifford ( aquí ). Si he leído bien, el producto de dos vectores cualesquiera será la suma de escalares y bivectores en el espacio multivectorial. Por lo tanto, NINGÚN resultado de la multiplicación de dos cuatro vectores puede escribirse como otro cuatro vector, excepto en el caso de que al menos uno de los cuatro vectores sea el vector cero (0,0,0,0). Esto concuerda con el desordenado álgebra matricial que resolví, y me da más confianza. Pero otras personas han explicado algo similar, y el profesor declaró que están leyendo mal esa fuente. ¿Hay alguna fuente mejor? ¿Qué hay de malo en la lógica anterior?

De nuevo, esto parece sospechosamente simple, y si un aficionado está en desacuerdo con un profesor de física, no suele ser una buena señal. Si no fuera por mi compañero de trabajo, me preocuparía estar convirtiéndome en un chiflado. ¿Me estoy perdiendo algo fundamental aquí?

Segunda línea de razonamiento

En la mecánica cuántica:

1. Los estados de un sistema se representan mediante vectores en el espacio de Hilbert. (Aunque no de forma única, ya que los vectores relacionados por una multiplicación escalar representan el mismo estado físico).

2. Los observables son operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert. La medición de un observable situará al sistema en un vector propio de ese operador.

3. Para un sistema preparado en un estado representado por $X$ , la probabilidad de medirlo para estar en un estado representado por $Y$ (algún vector propio no degenerado del observable que se mide) es $$ Prob = \frac{\langle X|Y\rangle \langle Y|X\rangle}{\langle X|X\rangle \langle Y|Y \rangle} $$

Por lo tanto, para predecir las mediciones, también tenemos que ser capaces de dividir con estos escalares. Y además, el resultado de cualquier cálculo de la forma anterior debe ser un número real para que tenga sentido como probabilidad. Sin embargo, $C\ell_{1,3}(R)$ no es un álgebra de división normada. Y como $\langle X | X \rangle$ ni siquiera se valora realmente en la teoría del profesor, no entiendo cómo podrían ser las probabilidades predichas.

El profesor respuesta a esta (y posiblemente también algunas de las propiedades de los espacios de Hilbert anteriores? no me queda claro) es que se trata de un campo y las propiedades de los espacios de Hilbert y el cálculo de probabilidades para las mediciones, funcionan de forma diferente en la QFT que en la QM de partículas no relativista introductoria.

Fui a buscar esto en los libros que tengo, y sorprendentemente en Srednicki "Quantum Field Theory", él explícitamente En la primera página del primer capítulo afirma que no va a repasar los postulados de la QFT, y en el "prefacio para los estudiantes" se limita a enumerar algunas ecuaciones y a decir que si se entienden éstas, se tiene la formación necesaria para utilizar este libro. ¿Asume que ya conocemos los postulados?

Veo en esta pregunta de stackexchange de física ( formalismo de la teoría cuántica de campos frente a la mecánica cuántica ), que al menos en opinión de Lubos es porque los postulados son los mismos. Pero no da ninguna referencia, y la referencia sugerida por el profesor ( "Teoría de campo cuántica axiomática en el espaciotiempo curvo" Hollands y Wald), ni siquiera habla de medidas o probabilidades. Buscando, encontré el tan citado "Postulados de la teoría cuántica de campos" Hagg y Schorer (1962), pero incluso eso no discute las medidas o las probabilidades. Sólo discuten cómo construir un espacio de Hilbert para las teorías de campo. Parece que sólo asumen que conocemos el "resto" de los postulados. También tengo "Quantum Field Theory in a Nutshell" de Zee, he hojeado el principio y él también parece asumir que conocemos los postulados.

Si no fuera por mi compañero de trabajo, en este momento simplemente asumiría que estoy equivocado, ya que ni siquiera puedo encontrar un libro que valide mi comprensión de los postulados y soy un aficionado en desacuerdo con un profesor de física actualmente empleado.

¿Puede alguien ayudarme a evaluar esta teoría física, y darme algunas referencias de libros de texto que pueda seguir?

Answer 1

En realidad, todo eso es bastante conocido desde los trabajos fundacionales de von Neumann y Birkhoff. En esta formulación de la QM (y en la evolución posterior de esta área de investigación) se construye la teoría cuántica partiendo del entramado de observables elementales "SÍ-NO" (véase mi respuesta sobre las probabilidades cuánticas para más detalles) o "proposiciones elementales" comprobables experimentalmente en un sistema cuántico. Estas proposiciones describen la fenomenología común de todos los sistemas cuánticos. Ese entramado resulta ser $\sigma$ -completa, ortomodular, separable, atómica, irreducible y que verifique la llamada "propiedad de cobertura". En la QM estándar esta red es la de los proyectores ortogonales en un espacio de Hilbert complejo. Sin embargo, ya von Neumann notó que al menos otras dos posibilidades parecían en principio factibles: el entramado de proyectores ortogonales en un real espacio de Hilbert y la red de proyectores ortogonales en un quaternionic espacio de Hilbert. En todos los casos, los estados son medidas de probabilidad generalizadas en la red correspondiente.

Esta idea se mantuvo como una conjetura hasta finales de 1900, cuando Solér (por ejemplo, echa un vistazo a este entrada de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford) demostró la conjetura de von Neumann descartando otras formulaciones sobre diferentes estructuras similares a los espacios de Hilbert (por ejemplo, utilizando álgebras de Clifford como espacio de escalares). También descarta los espacios de Hilbert construidos sobre el álgebra no asociativa de los octoniones, en aparente contradicción con lo que se afirma en el artículo que mencionas.

En presencia de una operación de inversión del tiempo, se puede demostrar que la mecánica cuántica real es equivalente a la versión compleja estándar. En cambio la cuaterniónica podría contener algo de física nueva, al menos es la opinión de S. Adler que escribió un grueso libro sobre esta idea desde un punto de vista muy físico.

Algunos de los resultados teóricos fundamentales de la QM sobreviven al paso a la QM cuaterniónica, como los teoremas de Wigner, Kadison y Gleason (este último es fundamental, ya que demuestra que los estados no son más que matrices de densidad y estados vectoriales, como se supone en las formulaciones más elementales de la QM). El libro de Varadarajan sobre la geometría de la QM trata las tres formulaciones simultáneamente.

La QM cuaterniónica implica un interesante análisis funcional no conmutativo desde el punto de vista matemático puro (véase, por ejemplo, este papel de la mía).

Por estas razones no creo que el artículo que mencionas -que supone tratar con algún tipo de espacio de Hilbert cuyos escalares son elementos de un álgebra de Clifford- pueda presentar una teoría consistente con los supuestos básicos estándar de las teorías cuánticas formuladas en espacios de Hilbert o generalizaciones. Esto es justo en vista del teorema de Sòler. Sin embargo el documento no está escrito en forma matemática tan clara como el tema merecería, en mi honesta opinión, para cuestiones tan delicadas desde el punto de vista matemático, físico y filosófico.

Para ser sincero, también podría decir que la formulación del espacio de Hilbert no es la única posible. Una formulación más reciente y en cierto sentido más potente es la algebraica, en la que los objetos fundamentales no son elementos de un entramado y medidas de probabilidad generalizadas sobre ese entramado, sino que son elementos de un unital $C^*$ -(o más débilmente un $*$ -o un álgebra de Jordan) las hermitianas que representan los observables del sistema. Los estados se definen ahora mediante funcionales positivos normalizados en el álgebra, que representan los valores de las expectativas. El célebre teorema de reconstrucción del GNS demuestra que, cuando se elige un estado de referencia, esta imagen algebraica es equivalente a una construcción estándar - à la von Neumann digamos- en un espacio de Hilbert. Sin embargo, hay muchas realizaciones de espacios de Hilbert unitariamente no equivalentes de la misma estructura algebraica.

Sin embargo, el documento que mencionas no parece tratar esta formulación más abstracta.

(En cuanto al artículo de Stefan Hollands-Bob Wald, conozco bastante bien a los autores y las ideas contenidas en ese artículo y las he discutido con Stefan en el pasado. No veo bien cómo estas ideas tienen mucho que ver con las formulaciones alternativas de las teorías cuánticas al nivel de la pregunta que estoy respondiendo. El punto, allí, era la reformulación de la teoría cuántica de campos, evitando el enfoque perturbativo estándar. Que yo recuerde, la estructura básica del espacio de Hilbert no juega ningún papel fundamental).

Answer 2

Ok, para ampliar mi comentario en una respuesta:

Sólo hay dos anillos de división de dimensión finita (que admiten la división) que contienen los números reales como subarreglo finito: los números complejos y los cuaterniones (aplicación del teorema de Frobenius). Además, un espacio vectorial (y los espacios de Hilbert son espacios vectoriales) suele definirse sobre un campo, es decir, un anillo conmutativo no nulo. Sobre un anillo se tiene el módulo que es una generalización de un espacio vectorial sobre anillos no conmutativos (como los cuaterniones, y la supuesta álgebra matricial de Dirac).

Así que, incluso suponiendo que se pueda generalizar un espacio de Hilbert como un módulo sobre un anillo con un producto escalar (no estoy seguro de que sea posible); la única manera de permitir la división, y de interpretar los productos escalares adecuados como una probabilidad real, es utilizar reales, complejos (espacios de Hilbert habituales), cuaterniones o anillos de división de dimensión infinita. Como no parece ser el caso aquí, supongo que: o se refiere a los cuaterniones en algún sentido, o se equivoca, o tiene que redefinir desde cero el concepto de probabilidades, espacio de Hilbert, etc...