Forma rápida de mostrar que $\int_{0}^{1}x(1-x) \sin (n\pi x)dx = \frac{4}{(n\pi)^3}$, $n$ impar

Question

Puedo calcular y mostrar que, para valores impares de $n$, $$\int_{0}^{1}x(1-x) \sin (n\pi x)dx = \frac{4}{(n\pi)^3}$$ con bastante facilidad por la expansión de la cuadrática, dividiendo el integrando y, a continuación, la evaluación de cada componente mediante integración por partes. Sin embargo, esto es bastante tedioso.

Me preguntaba si usted podría ver una manera de demostrar esta identidad sin tener que pasar por tanto de fuerza bruta cálculos. El resultado es relativamente limpio así que sospecho que hay una manera mucho más fácil de calcular la integral.

La integral se ve perfecto para $$\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(a-x)dx$$ but I was unable to find a solution using that because I could not somehow find a way to work with $\el pecado (n\pi(1-x))$

Así que lo que tengo hasta ahora es

$$I=\int_{0}^{1}x(1-x) \sin (n\pi x)dx=\int_{0}^{1}x(1-x) \sin (n\pi(1-x))dx$$

Pero ahora estoy atascado.

Answer 1

Consideremos las integrales\begin{align} I_{1}(n) &= \int_{0}^{1} \cos(n\pi x) \, dx = \left[ \frac{\sin(n \pi x)}{n \pi}\right]_{0}^{1} = \frac{\sin(n \pi)}{n \, \pi} \\ I_{2}(n) &= \int_{0}^{1} \sin( n \pi x) \, dx = \frac{\cos(n \pi) - 1}{n \, \pi} \end {Alinee el} ahora la integral en cuestión se obtiene de:\begin{align} \int_{0}^{1} x(1-x) \, \sin( n \pi \, x) \, dx &= - \frac{1}{\pi} \, \partial_{n} I_{1} + \frac{1}{\pi^{2}} \, \partial_{n}^{2} I_{2} , \hspace{10mm} \partial_{n} = \frac{d}{dn}\\ &= - \frac{1}{\pi^{2}} \, \partial_{n}\left( \frac{\sin(n \pi)}{n} \right) + \frac{1}{\pi^{3}} \, \partial_{n}^{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{\cos(n \pi)}{n}\right) \\ &= - \frac{1}{\pi^{2}} \left( \frac{(-1)^{n}}{n} \right) + \frac{1}{\pi^{3}} \left( \frac{2}{n^{3}} - \left(\frac{2 (-1)^{n}}{n^{3}} - \frac{\pi^{2} \, (-1)^{n}}{n} \right) \right) \\ &= \frac{2 \, (1 - (-1)^{n})}{(n \, \pi)^{3}} \end {Alinee el}

Answer 2

Deje $s(x)$ ser la onda de diente de sierra, es decir, el $2\pi$-función periódica que más de la $(-\pi,\pi)$ es igual a $x$.

Es bien sabido que su serie de Fourier está dada por: $$ s(x) = 2\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\,\sin(nx), $$ por lo tanto, por termwise integración y evaluación en $x=0$ se sigue que: $$ p(x) = 2\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2}\,\cos(nx),$$ donde $p(x)$ es la "parabólica de onda", es decir, el $2\pi$-función periódica que es igual a $\frac{x^2}{2}-\frac{\pi^2}{6}$$(-\pi,\pi)$.

Si $g(x)$ $2\pi$- función periódica que es igual a $\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{\pi}\right)$$(-\pi,\pi)$, se sigue que:

$$ g(x) = \frac{2}{3}-\frac{4}{\pi^2}\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2}\,\cos(nx) $$ por lo tanto: $$ h(x) = \frac{2}{3}-\frac{4}{\pi^2}\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\,\cos(nx)$$ es la serie de Fourier de la $2\pi$-función periódica que es igual a $\frac{x}{\pi}\left(2-\frac{x}{\pi}\right)$$(0,2\pi)$, así:

$$ f(x) = \frac{1}{6}-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n\geq 1}\frac{\cos(2\pi n x)}{n^2} $$ es la serie de Fourier de la $1$-función periódica que es igual a $x(1-x)$$(0,1)$.

Que conduce a una no tan corto pero bastante simple alternativa de solución.