Entender un resultado "Trivial" en teoría de Control óptimo

Question

En Lawrence C. Evans en línea notas : la teoría del control Óptimo, página 33, Evans hace un muy trivial en busca de instrucción,que no parece trivial para mí. Voy a elaborar, facilitando los datos necesarios, por lo que esta referencia es sólo para su posterior lectura.

Deje $\alpha : [0, \infty) \to [-1,1]^m$ ser una función medible. Considere la ecuación diferencial: $$ \dot x(t) = M x(t) + N\alpha(t) \\ x(0) = x_0 $$

Donde $M,N$ son constantes reales matrices de dimensión adecuada, por lo que el $x(t)$ ha codominio $\mathbb{R}^n$. Ahora, podemos resolver esta ecuación, con la solución: $$ x(t) = X(t)x_0 + X(t) \displaystyle\int_0^t X^{-1}(s) N\alpha(s) \operatorname{ds} $$

Ahora, fijar un tiempo de $T$, y definir el siguiente conjunto: $$K(T,x_0) = \left\{ X(T)x_0 + X(T) \displaystyle\int_0^T X^{-1}(s) N\alpha(s) \operatorname{ds}\right\}$$ where the $\alfa$ can vary over all measurable functions possible from $[0,\infty) \a [-1,1]^m$.

En palabras, estamos tratando de encontrar todo accesible puntos en el tiempo $T$. Si $x_1 \in K(T,x_0)$ existe $\alpha_{x_1}$ tal que $x_1 = X(T)x_0 + X(T) \displaystyle\int_0^T X^{-1}(s) N\alpha_{x_1}(s) \operatorname{ds}$.

Se puede probar que $K(T,x_0)$ es convexo y cerrado, el ex usando un candidato obvio, y el segundo a través de una aplicación de la Banach-Alaoglu teorema.

Ahora, supongamos que el $0 \in K(\tau, x_0)$ algunos $\tau$, pero no es cierto que $0 \in K(t, x_0)$ todos los $t < \tau$. Quiero demostrar que la $0$ es un límite de punto de $K(\tau,x_0)$.

En sus palabras: "Si $0$ es alcanzable en el tiempo $\tau$, pero no es accesible en cualquier momento menor que $\tau$, $0$ es un límite punto de que el conjunto de todos los puntos alcanzables en el tiempo $\tau$".

No parece trivial, así que traté de dejar a $0$ ser un punto interior. Es claro que en un barrio de $0$, hay puntos que se puede llegar en el tiempo $< \tau$ (cuando tomamos la trayectoria de$x_0$$0$, se entra en el barrio, antes de tiempo $\tau$, de modo que todos los puntos que caen en ese camino se puede llegar en el tiempo $< \tau$, naturalmente).Sin embargo, soy incapaz de demostrar por qué debe haber puntos que son no se puede llegar en el tiempo $\tau$ en un barrio de $0$. Esto es porque soy incapaz de usar la naturaleza de la serie para mi beneficio.

Seguramente si la pregunta es trivial, entonces me estoy perdiendo algo. ¿Me guía a través de este.

Answer 1

Lo siento, yo no soy un experto. Sin embargo, trataré de dar mi visión con la esperanza de que esto ayude.
Con el fin de comprobar si $0$ es un límite punto de $K(\tau,x_0)$, es suficiente para mostrar que cualquier barrio de $0$ contiene un punto en $K(\tau,x_0)$ y un punto exterior. Vamos a arreglar $\epsilon>0$ y tomar el open de bola de $B:=\{x\in\mathbb R^n \,:\, \|x\|<\epsilon\}$. Desde $0\in K(\tau,x_0)$ existe $\alpha:[0,\tau]\to[-1,1]^m$, de modo que $$ 0 = X(\tau)x_0 + X(\tau)\int_0^\tau X^{-1}(s)N\alpha(s)ds $$ Para cualquier $T<\tau$ el estado $$ x(T) = X(T)x_0 + X(T)\int_0^T X^{-1}(s)N\alpha(s)ds $$ A continuación,$x(T)$$K(\tau,x_0)$, ya que es en $K(T,x_0)$.
Vamos a elegir a$T$, de modo que $x(T)\in B$. Que es posible, ya que, una vez fijado $x_0$, $t\mapsto x(t)$ es derivable y por lo tanto localmente Lipschitz. De ahí que podamos enlazado $\|x(\tau)-x(T)\|$ $$\|x(\tau)-x(T)\|\le L\|\tau-T\|$$ con $L$ que depende del $\tau$. Podemos por lo tanto eligió $T$ tal que $\|x(\tau)-x(T)\|<\epsilon$. Esto demuestra que en el $\epsilon$-barrio de $x(\tau)$ existe un punto en $K(\tau,x_0)$. A partir de ahora $T>\tau$ $\alpha'(s)$ que es cualquier bien definido distinto de cero de la función que está de acuerdo con $\alpha$$[0,\tau]$. a continuación,$x(T)\notin K(t,x_0)$, para todos los $t\le \tau$, de lo contrario $x(\tau)$ sería accesible en menos de $\tau$ segundos, que viola la hipótesis. Utilizando el mismo argumento, como antes, usted puede eligió $T>\tau$, de modo que $x(T)$ $\epsilon$- barrio de $x(\tau)$, lo que demuestra que en tal barrio existe un punto que no pertenece a $K(\tau,x_0)$. En este punto, la reclamación deberá seguir a partir de la arbitrariedad de $\epsilon$.
Tal vez esto no es una rigurosa prueba, pero espero que pueda ser una idea.