¿Desigualdad de Gagliardo-Nirenberg?

Question

Para $1\leq p<n$, podemos definir la Sobolev conjugado de$p$$p^{\ast}=\frac{np}{n-p}$.

Recordar el Gagliardo-Nirenberg la desigualdad $$||u||_{L^{p^{\ast}}(\mathbb{R}^n)}\leq C ||\nabla u||_{L^p(\mathbb{R}^n)}$$ for some constant $C$ depending only on $n$ and $p$ for any function $u\en C_c^1(\mathbb{R}^n)$.

A partir de esto, se deriva fácilmente de la siguiente estimación para $W^{1,p}$: vamos a $U$ ser un almacén abierto subconjunto de $\mathbb{r}^n$, un disco abierto de decir. Suponga que $1\leq p<n$ y deje $u\in W^{1,p}(U)$. A continuación, $u\in L^{p^{\ast}}(U)$ $$||u||_{L^{p^{\ast}}(U)}\leq C||u||_{W^{1,p}(U)}$$

Me he topado con la siguiente desigualdad $$||u||_{L^2(\partial U)}\leq C||u||_{L^p(U)}^{1-1/p} ||u||_{W^{1,p}(U)}^{1/p}, \quad u\in W^{1,p}(U)$$

Es esta una consecuencia de la anterior desigualdades?

Incluso estoy confundido acerca de la pertinencia de la 'u' en el lado izquierdo: yo esperaría que la restricción a $\partial U$ de una función de $v\in W^{1,p}(U)$. Dado que la restricción de operador $\tau:W^{1,p}(U)\rightarrow L^2(\partial U)$ es continuo, $$||v_{|\partial U}||_{L^2(\partial U)}=||\tau(u)||_{L^2(\partial U)}\leq C||u||_{W^{1,2}(U)}$ $ y a partir de aquí me pregunto si las desigualdades por encima de arrojar algo de luz.

Answer 1

Si $p \geq 2$, luego de que una versión adecuada de la desigualdad de Hölder muestra que para $U$ delimitada, $L^p(U) \hookrightarrow L^2(U)$, por lo tanto $W^{1,p}\hookrightarrow W^{1,2} \hookrightarrow L^2$ el uso de la traza de la desigualdad. Así que usted tiene

$$ \|u\|_2 \leq \|u\|_2^{1-1/p}\|u\|_2^{1/p} \lesssim \|u\|_p^{1-1/p} \|u\|^{1/p}_{W^{1,2}} \lesssim \|u\|^{1-1/p}_p \|u\|^{1/p}_{W^{1,p}} $$

que no requiere pasar a través de la Gagliardo-Nirenberg la desigualdad. (Aunque se puede argumentar que la prueba de la GN desigualdad pueden ser reciclados, para demostrar el teorema de seguimiento, por lo que los dos no son completamente ajenos.)

El caso interesante es cuando $p < 2$, en el que su estimación de la siguiente manera parcialmente a partir de la generalización de Sobolev involucración teoremas (lo que permite también para el seguimiento de las estimaciones). Véase, por ejemplo, el Teorema 4.12 Caso C de Robert Adams' Espacios de Sobolev. En particular, la numerología requiere de $p \leq 2 \leq (n-1)p / (n-p)$, lo que implica

$$ \frac{2n}{n+1} \leq p \leq 2 $$

debe poseer para el clásico de seguimiento teorema $W^{1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^2(\partial\Omega)$. (Si usted cree en la fracción de espacios de Sobolev, entonces usted también puede "obtener" los de arriba por la combinación de una fracción de la versión de Gagliardo-Niremberg de $W^{1,p}\hookrightarrow H^s$ algunos $s > 1/2$ y el uso de las fracciones de seguimiento teorema $H^s(\Omega)\hookrightarrow L^2(\partial\Omega)$; tenga en cuenta que esta ruta ingenuamente requerirá el límite inferior en $p$ a una estricta desigualdad debido a la falta de $H^{1/2}(\Omega)\not\hookrightarrow L^2(\partial\Omega)$.) En particular, para la dimensión $n > 1$ $L^1$ extremo no está cubierto por este teorema.

Este fracaso en $L^1$ no es un problema de método: es un auténtico fracaso de la desigualdad. Considere la función en dos dimensiones $u(x,y) = \left[ (x-1)^2 + y^2\right]^{1/4}$, que es sólo una versión traducida de la función $\frac{1}{\sqrt{r}}$. No es $L^2$ integrable cuando restringida al círculo, ya que tiene un Logarítmica de la singularidad en $(1,0)$. Pero $\frac{1}{\sqrt{r}}$ sin duda $L^1_{loc}(\mathbb{R}^2)$, y su derivado que tiene un $\frac{1}{r^{3/2}}$ singularidad también es $L^1_{loc}(\mathbb{R}^2)$. (El mismo ejemplo también funciona en arbitraria $n \geq 2$; usted puede utilizar el mismo principio a través de funciones como se traduce de $\frac{1}{r^{(n-1)/2}}$, o simplemente argumentar a través del método de descenso.)