¿Puede ocurrir cualquier k-álgebra contable generado como el anillo de secciones globales de alguna variedad?

Question

En la respuesta a esta pregunta hemos visto que existe una nonsingular cuasi-proyectiva, tres veces más de un campo que no finitely generado global de las secciones.

Yo estaba hablando acerca de esta pregunta anterior a la de hoy y la siguiente pregunta vino dada por cualquier countably generado noetherian k-álgebra I que es parte integrante de dominio y cuyo campo de fracciones ha finito trascendencia grado k, donde k es un campo, ¿existen algunas cuasi-variedad proyectiva X (por variedad, me refiero a una integral separados esquema finito de tipo k) tal que el anillo de global secciones de X es R?

Es posible que una de las necesidades más hipótesis para hacer este trabajo - si esto es falso, creo que sería interesante saber la clase de álgebras de lo que puede ocurrir.

Answer 1

No. Tomar k[t] e invertir countably muchas relativamente primer polinomios. Esto obedece a todos sus adjetivos (localización conserva noetherianness, los otros son evidentes.)

Sin embargo, un anillo de global secciones debe ser un sub-anillo de algunos finitely generado k-álgebra. (Ya lo decía en la última discusión.) Por lo tanto, su grupo de la unidad debe ser un subgrupo del grupo de unidades de un finitely generado k-álgebra. Si a es cualquier finitely generado k-álgebra, luego de Unidades(Un)/Unidades(k) es un finitely generado abelian grupo, y por lo tanto no puede contener el countably generado grupo del ejemplo anterior.

No puedo encontrar una referencia de la realidad sobre las Unidades(Un)/Unidades(k) en el momento en que, Tevelev describe esto como bien se sabe.

Answer 2

No, pero para algo razones triviales. Vamos a R a ser el polinomio anillo en countably muchas variables, sin relaciones. Este es un countably generado k-álgebra, y no puede ser el anillo de funciones en un cuasi-proyectiva. Cuasi-proyectiva tiene la función de campo de la trascendencia finita grado sobre la base de campo, debido a que son birational a hypersurfaces en P^n. Ahora, si se añade la hipótesis de que R es countably generado, reducido, noetherian k-álgebra, puede ser cierto, aunque ambos reducido y noetherian son necesarios hipótesis.