¿Es el subconjunto formado por todas las funciones suaves integrables (o integrables al cuadrado) del conjunto de todas las funciones integrables (o integrables al cuadrado), denso bajo la métrica euclidiana habitual o la integral de diferencia absoluta?
Por suave quiero decir que existen derivadas de todos los órdenes.
Sí. De hecho, por el teorema de Stone-Weierstrass y la existencia de funciones suaves con soporte compacto, las funciones suaves con soporte compacto son uniformemente densas en el espacio de las funciones continuas con soporte compacto. La densidad uniforme implica $L^2$ y $L^1$ para funciones con soporte compacto (y por lo tanto con medida finita), y como las funciones continuas con soporte compacto son densas en $L^2$ y $L^1$ El resultado es el siguiente.
Si quisieras ver esto de forma más directa, puedes pasar por las iteraciones de aproximación de un ( $L^1$ o $L^2$ ) con una función acotada con soporte acotado, luego con una función simple, luego con una función escalonada, y finalmente aproximar la función escalonada con una función suave utilizando funciones de bacheo .
El argumento de Jonas es bueno. Otra prueba es: dado $f \in L^p$ (aquí $p=1,2$ ), tome el convolución de $f$ con una secuencia de mollifiers $\eta_\epsilon$ . Utilizando las propiedades de las convoluciones, es fácil comprobar que $f * \eta_\epsilon$ es una función suave, y que $f * \eta_\epsilon \to f$ en $L^p$ como $\epsilon \to 0$ . Esto tiene la ventaja de ser un poco más directo.
Editar: Para una referencia, véase Folland's Análisis real , sección 8.2.
La suavidad de $f * \eta_\epsilon$ es la Proposición 8.10 y proviene de diferenciar bajo el signo integral en la convolución (¡con justificación!), y elegir poner la derivada en $\eta_\epsilon$ . Intuitivamente, proviene de la idea de que la convolución es una operación de "promediación" y tiende a suavizar, emborronar o difuminar las zonas ásperas de $f$ juntos, por lo que debería ser una operación de suavizado. (El artículo de la wikipedia tiene una bonita animación que lo ilustra).
El hecho de que $f * \eta_\epsilon \to f$ en $L^p$ es el Teorema 8.14 (a) de Folland, y es bastante elemental. También tiene la Proposición 8.17 que demuestra que $C^\infty_c$ es denso en $L^p$ pero, inexplicablemente, comienza utilizando el hecho de que $C_c$ es denso en $L^p$ . Supongo que esto se utiliza para obtener una función con soporte compacto, de manera que se pueda aproximar $f \in L^p$ por funciones que no sólo son suaves (que $f * \eta_\epsilon$ es) pero también con soporte compacto (que $f * \eta_\epsilon$ no tiene por qué serlo, aunque $\eta_\epsilon$ es). Pero un argumento más fácil sería aproximar primero $f$ en $L^p$ por una función $g$ que tiene un soporte compacto pero no necesariamente continuo; por ejemplo, $g = f 1_{[-N,N]}$ para grandes $N$ (esto funciona por convergencia dominada), y luego aplicar mollifiers a $g$ . A menos, por supuesto, que haya alguna sutileza que me haya perdido.
Edición 2 : En efecto, lo hay. El 8.14 (a) de Folland se basa en el hecho de que la traslación es fuertemente continua en $L^p$ que utiliza la densidad de $C_c$ . Así que aparentemente no es tan fácil saltarse este paso, y eso destruye gran parte de la "franqueza" de mi argumento.
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