No he estudiado teoría de grupos, pero me gustaría saber de forma sencilla por qué la reflexión en un plano es un automorfismo. El Dr. Hermann Weyl da la definición de automorfismo en su libro 'simetría' como
Una transformación que preserva la estructura del espacio
¿Qué entiende por estructura del espacio? ¿Por qué la reflexión puede preservar la estructura?
La expresión "estructura de un espacio" tiene distintos significados en diferentes contextos.
La cita de Weyl probablemente da la estructura implícita, y supongo que se refiere a planos en el espacio 3 euclidiano. En ese caso, un automorfismo es una biyección de los puntos del espacio 3 euclídeo que conserva todas las estructuras de la geometría euclídea: líneas, planos, distancias y ángulos. En geometría analítica aprendemos un poderoso teorema que dice que cualquier biyección de los puntos del espacio 3 euclídeo que preserve la distancia también conserva todas las demás estructuras: líneas; planos; ángulos.
Así pues, la cita de Weyl significa simplemente que la reflexión a través de un plano preserva la distancia: utilizando coordenadas cartesianas $\mathbb{R}^3$ para el espacio 3 euclidiano, con la fórmula de distancia habitual $d(x,y)$ por puntos $x,y \in \mathbb{R}^3$ si $P \subset \mathbb{R}^3$ es el plano y si $r : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ es la reflexión a través de $P$ entonces $d(r(x),r(y)) = d(x,y)$ . Esto es bastante fácil de demostrar utilizando las herramientas ordinarias de la geometría analítica: utilizar una descripción de $P$ escribir una fórmula para $r$ y utilizar esa fórmula con coordenadas para $x,y$ demostrar $d(r(x),r(y))=d(x,y)$ .
Al decir "definimos la estructura a la manera de Helmholtz, lo que significa que transforma dos figuras congruentes cualesquiera en dos figuras congruentes", ¿se refiere Weyl a la similitud en este contexto?
No, la congruencia y la semejanza tienen el mismo significado ahora que para Weyl hace 63 años, al igual que en (las traducciones de) Euclides, que escribió hace 2300 años. Congruencia significa que se mantiene la distancia, la estructura clave de la geometría euclidiana, como explico en mi respuesta. Similitud significa que la distancia se multiplica por una constante.
La palabra automorfismo se puede utilizar en muchos contextos, como por ejemplo en el sentido de un mapeo del espacio ( ) sobre sí mismo de forma que "preserve la estructura".
Se trata de una referencia a las propiedades euclidianas del espacio, es decir, sus distancias y ángulos. La reflexión en cualquier plano conserva las medidas de distancia y ángulos, por lo que es un automorfismo en ese sentido.
Puede ser útil añadir que la estructura del espacio vectorial no se conserva bajo reflexión a lo largo de un hiperplano a menos que pase por $0$ . Esto deja claro que la definición depende del contexto, ya que en ambas configuraciones se puede utilizar $\mathbb R^n$ como espacio base.
@AlexR : Gracias por esto. Es cierto que si queremos preservar el espacio vectorial estructura entonces el plano de reflexión tiene que ser un subespacio, es decir, pasar por el origen. Pero no quise traer a colación aquellas estructuras del espacio no preservadas por la reflexión, como por ejemplo las coordenadas no se preservan.
https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_group
Estoy bastante seguro de que está hablando, sin utilizar los términos, de álgebras de Lie y de lo que se conoció como cámaras de Weyl.
La configuración para una red de raíces es una forma cuadrática (positiva), llamémosla $Q.$ La norma (al cuadrado) de un vector reticular $x$ es precisamente $Q(x)$ que es un número entero; para los casos de interés, normalmente se requerirá que sea un número entero par, ya que las redes de raíces son "pares".
La forma cuadrática da lugar a una simétrica producto interior , $$ \langle x,y \rangle = (1/2) \left( Q(x+y) - Q(x) - Q(y) \right). $$ Se requiere que sea un número entero cuando $x,y$ están en la red. Esta es la razón por la que las normas deben salir pares, hay que doblar todo el asunto para evitar los medios enteros.
Dado un producto interior, la reflexión en un vector fijo $w$ es $$ z' = z - \frac{2 \langle z,w \rangle}{\langle w,w \rangle} w $$ Esto ya lo has visto antes, probablemente con el producto punto ordinario. Tenga en cuenta que $w' = -w,$ pero cuando $z$ es perpendicular a $w,$ entonces $z'=z.$
A continuación, dada una red par, a raíz es un vector reticular $r$ tal que $Q(r) = 2,$ o $\langle r,r \rangle = 2$ . Es por esta condición que la reflexión en $r$ se convierte en $$ \color{magenta}{ z' = z - \langle z,r \rangle r} $$ Dado cualquier $z$ en la red, $z'$ también está en la red. Esto preserva la red y se denomina automorfismo. Con $Q,$ el grupo de automorfismo es finito y está generado por las reflexiones.
Bueno, hay más que decir. Ahora estoy trabajando en formas cuadráticas. Siento que si hubiera tenido un curso corto en formas cuadráticas, celosías, antes de Lie Algebras, habría ayudado.
Suficiente por ahora
¿Menciona el libro las álgebras de Lie en alguna parte? A mí no me lo parece. Por ejemplo, mentira, raíces y pesos no aparecen en ninguna parte del índice, mientras que las "reflexiones" se tratan justo en las primeras páginas (como la transformación geométrica obvia del espacio).
@anon, probablemente no. Un tratamiento muy completo sin álgebras de Lie es Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups.
@anon, también recomiendo Lattices and Codes de W. Ebeling. Utilicé, con permiso, su descripción del truco de Conway para grupos de automorfismo de celosías, en un trabajo reciente con Pete L. Clark. De la segunda edición, Sección 4.5, Automorphism Groups.
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En este ¿ayuda? Puedes ver que, por ejemplo, una reflexión en un espacio vectorial a lo largo de un subespacio es compatible con la suma de vectores. En general un automorfismo sólo tiene sentido si has descrito la estructura de tu objeto.