Aplicaciones del Teorema Espectral a la Mecánica Cuántica

Question

Actualmente estoy aprendiendo análisis funcional básico. Ayer llegué al teorema espectral de operadores autoadjuntos. He escuchado que este teorema tiene muchas aplicaciones en Mecánica Cuántica.

Pero primero permíteme declarar la formulación del teorema que estoy utilizando:

Sea $H$ un espacio de Hilbert. Existe una correspondencia biunívoca entre los operadores autoadjuntos $A$ en $H$ y las medidas espectrales $P^{A}$ dadas por $$A~=~\int_{\mathbb{R}} \lambda ~dP^{A}.$$ ($\lambda$ denota una constante, $\mathbb{R}$ denota los números reales.)

Una consecuencia es:

Sea $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función. (Nuevamente: $\mathbb{R}$ denota el conjunto de números reales.) Entonces: $$g(A)~:=~\int_{\mathbb{R}} g(\lambda)~ dP^{g(A)}$$
$$P^{g(A)}(\Delta) ~=~ P^{A}(g^{-1}(\Delta))$$ donde $\Delta$ denota un conjunto en el $\sigma$-álgebra de $\mathbb{R}$.

Vale. Ahora este es el teorema. Al principio no entiendo realmente la aplicación de la consecuencia en Mecánica Cuántica. He oído que supongamos que te dan un operador $A$ esto significa que es fácil para ti definir operadores como $\exp(A)$, especialmente en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Esto de hecho podría ser útil en mecánica cuántica. Especialmente al pensar en el "operador de evolución temporal" de un sistema.

De todas formas después digo: ¿Por qué complicar las cosas? Supongamos que quieres calcular $\exp(A)$. ¿Por qué no defines $$\exp(A)~:=~1+A+1/2 A^2 + \ldots $$ y requieres convergencia con respecto a la norma del operador. Un ejemplo: Considera el espacio vectorial generado por los monomios $1,x,x^2,\ldots$ y sea $A=d/dx$. Entonces puedes definir perfectamente

$$\exp(d/dx)~:=~1+ d/dx + 1/2 d^2/dx^2 + \ldots $$

y requerir convergencia con respecto a la norma del operador.

Además de eso, he escuchado que el teorema espectral proporciona una descripción completa de todos los operadores autoadjuntos. ¿Por qué es eso así? Quiero decir... vale.. hay una correspondencia biunívoca entre los operadores autoadjuntos y las medidas espectrales... pero ¿por qué esto me proporciona información sobre "la estructura interna del operador"? (¿Y por qué está este $\lambda$ en la integral? ¿Parece de alguna manera un autovalor de $A$? Pero es solo una suposición)

Estaría más que feliz si pudieras proporcionarme algo de intuición e ideas de cómo se puede usar el teorema.

Answer 1

Estimado Constantin, el $A=\int_R \lambda\,dP^A$ es solo una versión continua de la descomposición espectral. Aquí $dP^A$ es una versión diferencial de los operadores de proyección que definen el operador Hermitiano.

Para un espectro discreto, la ecuación correspondiente sería $$ A = \sum_{i} \lambda_i P_{\lambda_{i}} $$ donde la suma se realiza sobre los autovalores $\lambda_i$ y $P_{\lambda_i}$ son los operadores de proyección en el subespacio del espacio de Hilbert que contiene los autovectores con el autovalor $\lambda_i$. De hecho, $\lambda$ siempre se entiende como un autovalor posible del operador. Y de hecho, un operador Hermitiano está completamente determinado por su espectro y los autovectores correspondientes (y sus multiplicidades) para cada autovalor, razón por la cual la fórmula anterior es una forma equivalente de reescribir un operador hermitiano.

Cuando el espectro de $A$ es continuo, la suma sobre $i$ debe ser reemplazada por una integral, y el correspondiente diferencial $d$ se agrega al frente de $dP_{\lambda}$: realmente es el diferencial del operador de proyección en el espacio de estados propios con autovalores en el intervalo $[-\infty, \lambda]$; $dP_\lambda = dP_\lambda / d\lambda \cdot d\lambda$, si se prefiere.

Pero es moralmente lo mismo que en el caso del espectro discreto (lo que produce funciones delta en $dP_\lambda / d\lambda$ si adoptamos esta terminología). Además, algunas de tus demostraciones adicionales que involucran $\Delta$ son simplemente sustituciones triviales bajo el signo integral. Uno necesitaría conocer muchos detalles de tus axiomas matemáticos - de la particular "cultura matemática" de la que provienes - para entender exactamente qué podría resultar difícil para un matemático acerca de las sustituciones bajo el signo integral. Desde la perspectiva de un físico, no hay dificultades - es matemáticas de secundaria.

http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem#Hermitian_matrices

Los matemáticos pueden preocuparse por la acotación y la bien definición de todas estas cosas durante la mayor parte de sus carreras, pero desde el punto de vista de la física, estas preocupaciones son completamente vacías.

Si un físico descubre que la respuesta a una pregunta de física requiere que él calcule $f(A)$, una función de un operador - una observable - simplemente tiene que calcularlo, ya sea que parezca difícil o bien definido o no. En particular, se asume que la expansión de Taylor para funciones como la exponencial siempre es válida.

Discutes la función $g(A)$ del operador como ejemplo. Los procedimientos que describes físicamente significan que se diagonaliza $A$ - lo que simplifica los operadores de proyección (solo un número $1$ en la diagonal) - y luego simplemente se aplica la función $g$ a los autovalores. En otras palabras, $$ A = U D U^{-1} \quad \Rightarrow \quad g(A) = U g(D) U^{-1} $$ donde $g(D)$ es simplemente una matriz diagonal con entradas $g(D_{ii})$ en la diagonal. La fórmula anterior funciona porque $U^{-1} U$ se cancelan en todo lugar si escribimos $g(A)$ por ejemplo como una expansión de Taylor - y por generalización, simplemente declaramos que la fórmula anterior es correcta incluso si la expansión de Taylor no es apropiada para un matemático.

La expansión de Taylor para la exponencial siempre es correcta desde el punto de vista de un físico.

Todos estos objetos - espacios de Hilbert, operadores, sus funciones (especialmente las exponenciales), espectros, autovalores - y todas estas operaciones - exponenciación, búsqueda de operadores de proyección, etc. - son importantes en la física, ciertamente. Y eso es lo que los matemáticos a menudo declaran cuando quieren que sus estudiantes presten atención. Pero también es igualmente cierto que todos los puntos en los que los matemáticos realmente se enfocan durante la mayor parte de sus vidas son totalmente desinteresados desde un punto de vista científico.

Por eso considero que tus comentarios de que "el material es importante en física" son moralmente incorrectos.

Los matemáticos no deberían tratar de respaldar la atracción de sus enseñanzas mediante aplicaciones físicas - especialmente porque su objetivo real (y el objetivo real de las matemáticas puras) es hacer que sean lo más independientes posible de la ciencia natural. No se puede tener las dos cosas. Hacer física o ciencia significa que uno tiene permitido "demostrar" todas estas cosas - como $g(A)=g(A)$ que realmente es el contenido de la prueba "difícil" que esbozaste) - de manera mucho más elegante y, en realidad, ingenua que en matemáticas. Solo se está preocupado por la falta de rigor si realmente se puede encontrar una contradicción con el experimento u otros cálculos. Si no existe, la ciencia está simplemente perfectamente bien.

Por otro lado, los matemáticos suelen buscar problemas incluso si desde el punto de vista de un científico no existen problemas. Esto implica un conjunto totalmente diferente de prioridades y es poco probable que un estudiante se emocione por ambos. Uno prefiere medir la verdad de acuerdo con el escrupuloso basado en conjuntos predefinidos de axiomas - que es el punto de vista del matemático - o está dispuesto a ajustar sus métodos, axiomas y definiciones precisas de objetos (e inventar o aprender ramas de la física totalmente nuevas) según sea necesario para estar de acuerdo con los datos empíricos y otros cálculos precisos - que es el punto de vista del físico.

No son actitudes diferentes y por eso creo que tu pregunta debería haber sido publicada en un foro de matemáticas porque realmente no sigue el modo de pensar de un físico y no está realmente motivada por el deseo de comprender la Naturaleza.

Answer 2

Es cierto que gran parte de la mecánica cuántica se puede enseñar y entender sin mucho conocimiento de los fundamentos matemáticos, y generalmente es así. Dado que la mecánica cuántica es una clase obligatoria en muchas facultades a la que también deben asistir los futuros físicos experimentales, esto también tiene sentido. Pero para futuros físicos teóricos y matemáticos, puede ser beneficioso aprender un poco sobre matemáticas también.

Una pequeña anécdota: John von Neumann una vez le dijo a Werner Heisenberg que los matemáticos deberían estar agradecidos por la mecánica cuántica, porque condujo a la invención de muchas matemáticas hermosas, pero los matemáticos devolvieron esto aclarando, por ejemplo, la diferencia entre un operador autoadjunto y un operador simétrico. Heisenberg preguntó: "¿Cuál es la diferencia?"

Supongamos que quieres calcular exp(A). ¿Por qué no defines exp(A):=1+A+1/2 A^2 + ... y exiges convergencia con respecto a la norma del operador?

Eso es correcto. El beneficio del teorema espectral es que puedes definir f(A) para cualquier operador autoadjunto (o más generalmente, normal) para cualquier función de Borel acotada. Esto es útil en muchas demostraciones en teoría de operadores.

Además de eso, he escuchado que el teorema espectral da una descripción completa de todos los operadores autoadjuntos. ¿Por qué es eso así? Quiero decir.. está bien.. hay una correspondencia uno a uno entre los operadores autoadjuntos y las medidas espectrales..

Eso también es correcto. Las medidas espectrales son objetos mucho más simples que los operadores autoadjuntos, por eso. Además, puedes usar el teorema espectral para demostrar que todo operador autoadjunto es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación (multiplicar f(x) por x). Desde un punto de vista abstracto, esta es una caracterización muy satisfactoria. Sin embargo, no ayuda mucho en cálculos concretos en mecánica cuántica.

Por cierto: En un nivel más avanzado, necesitarás entender el teorema espectral para comprender qué es una brecha de masa en Teoría de Yang-Mills (problema del milenio).

Pista: En la QFT en el Espaciotiempo de Minkowski, uno usualmente asume que hay una representación continua del grupo de Poincaré, especialmente del subgrupo conmutativo de las traslaciones, en el espacio de Hilbert que contiene todos los estados físicos. Los operadores que forman la representación tienen una medida espectral común, esta es una aplicación del teorema SNAG. El soporte de esta medida espectral está alejado de cero, esa es la definición de la brecha de masa.

Answer 3

Sin embargo, entonces digo: ¿Por qué haces las cosas tan complicadas? Supongamos que quieres calcular $\exp(A)$. ¿Por qué no defines $$\exp(A)~:=~1+A+1/2 A^2 + \ldots $$ y requieres convergencia con respecto a la norma del operador. Un ejemplo: Considera el espacio vectorial generado por los monomios $1,x,x^2,\ldots$ y sea $A=d/dx$. Entonces puedes definir perfectamente

$$\exp(d/dx)~:=~1+ d/dx + 1/2 d^2/dx^2 + \ldots $$

y requieres convergencia con respecto a la norma del operador.

La respuesta es simplemente que el procedimiento que sugieres no funciona, a menos que $A$ sea acotado. Los operadores acotados representan un caso muy particular en la MQ donde la mayoría de los operadores no están acotados, ya que el rango de los valores de las observables que representan es ilimitado. La integración espectral es útil (diría esencial) precisamente para estos casos más frecuentes en la MQ.

Además de eso, he escuchado que el teorema espectral da una descripción completa de todos los operadores autoadjuntos. ¿Por qué es eso? Quiero decir... está bien... existe una correspondencia uno a uno entre los operadores autoadjuntos y las medidas espectrales... pero ¿por qué esto me da información sobre "la estructura interna del operador"? (Y ¿por qué está este $\lambda$ en la integral? ¿Parece de alguna manera un autovalor de $A$? Pero solo estoy adivinando)

Esta es una pregunta mucho más difícil, muy técnica. Una respuesta breve es que, es porque el teorema espectral permite construir cosas como $f(A)$ donde $f$ es cualquier función compleja medible. Sin embargo, nota que el teorema espectral es válido, más en general, para operadores cerrados normales generalmente no acotados.

Answer 4

El teorema espectral es realmente importante en el análisis de operadores a un nivel riguroso.

Además de tratar con los operadores fundamentales no acotados (casi todo hamiltoniano de relevancia física es no acotado), también ayuda a responder preguntas sobre el espectro de los operadores.

Por ejemplo, es necesario utilizar el teorema espectral para demostrar que la suma de dos operadores autoadjuntos no acotados que conmutan es autoadjunta, y que existe una medida espectral común con las propiedades correctas (por ejemplo, que si el espectro de ambos es puramente discreto, se puede encontrar una base ortonormal de autovectores de ambos operadores, y esta idea es la base del conjunto completo de observables que conmutan).

Otro ejemplo es la investigación del espectro discreto y esencial, que solo se puede definir rigurosamente con la ayuda de medidas espectrales. El espectro discreto está estrechamente relacionado con la existencia de estados ligados (funciones propias que decaen exponencialmente).

También se utiliza a menudo en la teoría de la perturbación y en el estudio de la convergencia de los operadores no acotados. Puede que no tenga muchas aplicaciones explícitas y directas, pero es un bloque fundamental de la teoría de operadores autoadjuntos (en realidad normales), especialmente los no acotados, donde a veces la intuición física como el uso de series puede resultar errónea (!) y debe tratarse con extremo cuidado.

Te sugiero que veas el capítulo VII (teorema espectral) y especialmente el VIII (operadores no acotados) del primer libro de Reed y Simon "Métodos de la física matemática moderna" para obtener más información. Hay una sección en el capítulo VIII llamada "La manipulación formal es un asunto delicado" que puede ayudarte a entender mejor a qué me refería en el párrafo anterior.